函数[x]和{x}在数论中的应用

函数[x]和{x}的定义与基本性质（定义1，命题1）

定义1

设$x\in \mathbb{R}$,定义$[x]$等于不超过$x$的最大整数，称函数$[x]$为取整函数或高斯函数。

另外也称$[x]$为$x$的整数部分， { x } = x − [ x ] \{x\}=x-[x] {x}=x−[x]为$x$的小数部分。

例1

计算下列的值

1. $[\pi ],[e],[-\pi ],[\frac{2}{3}],[\frac{3}{5}],[-\frac{3}{5}],[5],[3];$
2. { 5 } , { − 3 } , { π } , { 2 } , − π \{5\}, \{-3\},\{\pi\},\{\sqrt{2}\},{-\pi} {5},{−3},{π},{2 ​},−π

$[\pi ]=3,[e]=2,[-\pi ]=-4,[\frac{2}{3}]=[\frac{3}{5}]=0,[-\frac{3}{5}]=-1,[5]=5,[3]=3$

{ 5 } = 5 − [ 5 ] = 0 , { − 3 } = − 3 − [ − 3 ] = 0 , { π } = π − [ π ] = π − 3 \{5\}=5-[5]=0,\{-3\}=-3-[-3]=0,\{\pi\}=\pi-[\pi]=\pi-3 {5}=5−[5]=0,{−3}=−3−[−3]=0,{π}=π−[π]=π−3

{ 2 } = 2 − 1 , { − π } = − π − [ − π ] = 4 − π \{\sqrt{}2\}=\sqrt{2}-1, \{-\pi\}=-\pi-[-\pi]=4-\pi { ​2}=2 ​−1,{−π}=−π−[−π]=4−π

按数轴来说，是向左边最接近的那个数取整。

下面来说一下它们的性质，看命题1

命题1

函数$[x]$和 { x } \{x\} {x}具有下列性质：

1. x = [ x ] + { x } ; x=[x]+\{x\}; x=[x]+{x}; 这个是显然的，一个数等于小数部分加整数部分

2. [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 , x − 1 < [ x ] ≤ x , 0 ≤ { x } < 1 ; [x]\le x < [x]+1,\ x-1<[x]\le x,\ 0 \le \{x\} <1; [x]≤x<[x]+1, x−1<[x]≤x, 0≤{x}<1; 前两个可以合并$x-1<[x]\le x<[x]+1$

3. 设$n\in \mathbb{Z},$则$[n+x]=n+[x];$

4. [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] , { x } + { y } ≥ { x + y } ; [x]+[y]\le [x+y],\{x\}+\{y\}\ge \{x+y\}; [x]+[y]≤[x+y],{x}+{y}≥{x+y};

5. $[-x]=\{\begin{array}{ll}-[x]-1,& x\notin \mathbb{Z}\\ -[x],& x\in \mathbb{Z}\end{array};$

6. (带余除法)设$a,b\in \mathbb{Z},b>0,$则：

   a = b [ a b ] + b { a b } , 0 ≤ b { a b } ≤ b − 1 a=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\},0\le b\{\frac{a}{b}\} \le b-1 a=b[ba​]+b{ba​},0≤b{ba​}≤b−1

7. 若$a,b\in {\mathbb{Z}}_{+}$,则$b$的倍数中小于等于$a$的正整数的个数为$[\frac{a}{b}]$;

8. 若$x\le y,$则$[x]\le [y]$

来证一下4,6,7

• 证4：
• 由1， x = [ x ] + { x } , y = [ y ] + { y } , x + y = [ x ] + [ y ] + { x } + { y } x=[x]+\{x\},y=[y]+\{y\},x+y=[x]+[y]+\{x\}+\{y\} x=[x]+{x},y=[y]+{y},x+y=[x]+[y]+{x}+{y}
• 两边同时取整，再由3和$[x]$和$[y]$均为整数可得
• [ x + y ] = [ [ x ] + [ y ] + { x } + { y } ] = [ x ] + [ y ] + [ { x } + { y } ] [x+y]=[[x]+[y]+\{x\}+\{y\}]=[x]+[y]+[\{x\}+\{y\}] [x+y]=[[x]+[y]+{x}+{y}]=[x]+[y]+[{x}+{y}]
• 再由 0 ≤ { x } < 1 , 0 ≤ { y } < 1 0\le \{x\} <1,0 \le \{y\}<1 0≤{x}<1,0≤{y}<1知 [ { x } + { y } ] ≥ 0 [\{x\}+\{y\}] \ge 0 [{x}+{y}]≥0
• 故$[x+y]\ge [x]+[y]$
• 那么很容易的由 { x } = x − [ x ] , { y } = y − [ y ] \{x\}=x-[x],\{y\}=y-[y] {x}=x−[x],{y}=y−[y]
• 故 { x } + { y } = x − [ x ] + y − [ y ] = x + y − ( [ x ] + [ y ] ) \{x\}+\{y\}=x-[x]+y-[y]=x+y-([x]+[y]) {x}+{y}=x−[x]+y−[y]=x+y−([x]+[y])
• 由前面已经证过的$-[x+y]\le -([x]+[y])$
• 得 x + y − ( [ x ] + [ y ] ) ≥ x + y − ( [ x + y ] ) = { x + y } x+y-([x]+[y]) \ge x+y - ([x+y])=\{x+y\} x+y−([x]+[y])≥x+y−([x+y])={x+y}由 { x } \{x\} {x}的定义
• 故 { x } + { y } ≥ { x + y } \{x\}+\{y\} \ge \{x+y\} {x}+{y}≥{x+y}

下面来证6：

• a = b ⋅ a b = b ( [ a b ] + { a b } ) = b [ a b ] + b { a b } a=b \cdot \frac{a}{b}=b([\frac{a}{b}]+\{\frac{a}{b}\})=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\} a=b⋅ba​=b([ba​]+{ba​})=b[ba​]+b{ba​}
• 对于$a,b>0$我们使用一下带余除法，有$a=bq+r,0\le r<b$
• 则两个对应两两相等 q = [ a b ] , r = b { a b } q=[\frac{a}{b}],r=b\{\frac{a}{b}\} q=[ba​],r=b{ba​}
• 则 0 ≤ b { a b } < b 0 \le b\{\frac{a}{b}\}<b 0≤b{ba​}<b右边那个$<b$可以写成$\le b-1$

然后来证7

• b > 0 , b , 2 b , 3 b , … , n b ≤ a = b [ a b ] + b { a b } b>0,b,2b,3b,\dots,nb \le a=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\} b>0,b,2b,3b,…,nb≤a=b[ba​]+b{ba​}即个数 n ≤ [ a b ] + { a b } n\le [\frac{a}{b}]+\{\frac{a}{b}\} n≤[ba​]+{ba​}
• 又 0 ≤ { a b } < 1 0 \le \{\frac{a}{b}\} <1 0≤{ba​}<1 所以$n$最大取$[\frac{a}{b}]$
• 所以$n=[\frac{a}{b}]$

函数[x]和{x}的应用（定理1，推论1-推论3）

例2

求$8!$的标准分解式中素因子$2,3,5$的指数

$$\begin{gathered} 8!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8 \\ =2^1\times 3^1\times 2^2\times 5^1\times 2^1\times 3^1\times 7\times 2^3 \\ =2^7\times 3^2\times 5^1\times 7^1 \end{gathered}$$

容易看出分别为$7,2,1$即$h_2=7,h_3=2,h_5=1$

下面给出一个定理

定理1

在$n!$的标准分解式中质因数$p(p\le n)$的指数

$$h=[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+\cdots =\sum _{r=1}^{\infty }[\frac{n}{p^r}]$$

注解5

若$p^s>n,$则$[\frac{n}{p^s}]=0$,故上式只有有限项不为0，因而是有意义的。

我们先用这个定理来验证一下例2

$h_2=[\frac{8}{2^1}]+[\frac{8}{2^2}]+[\frac{8}{2^3}]=4+2+1=7$

$h_3=[\frac{8}{3^1}]=2$

$h_5=[\frac{8}{5^1}]=1$

容易由定理1得到下面的推论1

推论1

$$n!=\prod _{p\le n}{p}^{\sum _{r=1}^{\infty }[\frac{n}{p^r}]}$$

其中${\prod }_{p\le n}$表示展布在不超过$n$的一切素数上的乘积式

即不超过$n$的素数$p$,将它们的某些结果相乘。

例3

计算$20!$中素因数$2$的指数

很容易由刚才给出的定理1知道$h_2=[\frac{20}{2}]+[\frac{20}{4}]+[\frac{20}{8}]+[\frac{20}{16}]=10+5+2+1=18$

例4

计算$10!$和$30!$的标准分解式

用推论1试试，先给出30以内的质数

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$

先来看$10!$的情况

$h_2=[\frac{10}{2}]+[\frac{10}{4}]+[\frac{10}{8}]=5+2+1=8$

$h_3=3+1=4$

$h_5=2$

$h_7=1$

所以$10!=2^8\times 3^4\times 5^2\times 7^1$

同理可知道

$30!=2^{26}\times 3^{14}\times 5^7\times 7^4\times 11^2\times 13^2\times 17^1\times 19^1\times 23^1\times 29^1$

推论2

贾宪数$\frac{n!}{k!(n-k)!}(0<k<n)$是整数

这个其实是组合数的公式。。

也就是$C_n^k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$

这里不用讨论$k=0，n$因为$k=0,n$带入结果为$1$

当然等号是可以加上的

意义是从$n$个东西中选出$k$个东西的方案数

我们可以使用这一节的定理1来证明这是个整数。

推论3

这个推论是跟多项式有关的，都是类似的

若$f(x)$是一个$n$次整系数多项式，$f^{(k)}(x)(k\le n)$是它的$k$阶导数，则$\frac{f^{(k)}(x)}{k!}$是一个$(n-k)$次整系数多项式。

命题2

任何$k$个连续整数的乘积一定可以被$k!$整除

还记得我们之前得到的结论吗，说的是任何连续$k$个整数中一定存在一个$k$的倍数。

很容易的我们可以根据这条结论来证这个。