【数据结构】图论探秘：广度优先遍历（BFS）与生成树的构建艺术

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

在前面的内容中，我们已经认识了图，学习了图的一些基本概念与核心术语以及4种图的存储结构：

• 邻接矩阵：适合存储稠密图
• 邻接表：适合存储稀疏图
• 十字链表：适合存储有向图
• 邻接多重表：适合存储无向图

并且我们还了解了图的一些基本操作：

• Adjacent(G, x, y): 判断图G是否存在边<x, y>或(x, y)；
• Neighbors(G, x): 列出图G中与结点x邻接的边
• InsertVertex(G, x): 在图G中插入顶点x
• DeleteVertex(G, x): 在图G中删除顶点x
• AddEdge(G, x, y): 若无向边(x, y)或有向边<x, y>不存在，则向图G中添加改边
• RemoveEdge(G, x, y): 若无向边(x, y)或有向边<x, y>存在，则从图G中删除该边
• FirstNeighbors(G, x): 求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号。若x没有邻接点或图中不存在x，则返回-1
• NextNeighbors(G, x, y): 假设图G中顶点 y 是顶点 x 的一个邻接点，返回除 y 外顶点 x 的下一个邻接点的顶点号，若 y 是 x 的最后一个邻接点，则返回-1
• Get_edge_value(G, x, y): 获取图G中边(x, y) 或 <x, y> 对应的权值
• Set_edge_value(G, x, y, v): 设置图G中边(x, y) 或 <x, y> 对应的权值

从今天开始，我们将会进入图的遍历操作的学习。下面我们就进入今天的内容；

一、图的遍历

图的遍历是指从图中的某一顶点出发，按照某种搜索方法沿着图中的边对图中的所有顶点访问一次，且仅访问一次。

在前面的内容中我们有说过，之前学习的数据结构：

• 线性表：顺序表、链表、栈、队列……
• 树
• 集合

都属于一种特殊图。因此这些数据结构的遍历都可以视为一种图的遍历。图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。

在这些数据结构中，树的遍历要比线性表或者集合的遍历要复杂，而图的遍历要比树的遍历更加复杂，这是因为两种数据结构的元素之间的关系之间存在差异：

• 树形结构：元素之间满足一对多的关系
• 图状结构：元素之间满足多对多的关系

由于这种多对多的关系，这使得图中的任意一个顶点都可能与其余顶点相邻接，所以在访问某个顶点后，可能沿着某条路径搜索又回到了该顶点。

为了避免同一顶点被多次访问，在遍历图的过程中，必须记下每个已访问过的顶点，为此可以设一个辅助数组visited[]来标记顶点是否被访问过。

在图中，遍历算法主要有两种：

• 广度优先搜索
• 深度优先搜索

今天我们将会介绍第一种遍历——广度优先搜索。

二、广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth-First-Search, BFS）类似于树的层序遍历。

PS：对树的层序遍历感兴趣的朋友可以回顾【数据结构】C语言实现二叉树的基本操作——二叉树的层次遍历、求深度、求结点数……
在这篇博客中，有介绍二叉树中的层序遍历以及C语言的实现，这里我就不再展开赘述。

2.1 基本思想

BFS 的基本思想是：

• 首先访问起始顶点v；
• 接着从v出发，依次访问v的各个未被访问过的邻接顶点 $w_1,w_2,\dots \dots ,w_i$ 的所有未被访问过的邻接顶点；
• 再从这些访问过的顶点出发，访问它们所有未被访问过的邻接顶点；
• 直至图中的所有顶点都被访问过为止；
• 若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作为起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

换句话说，BFS 遍历图的过程就是以v为起点，由近至远依次访问和v有路径相通且路径长度为1, 2……的顶点。

从二叉树的角度来看，BFS 就是一种分层查找的过程，与起始点v路径相同的顶点位于同一层，每一次访问都会完成同一层全部顶点的访问。

在上图中，各个顶点按路径长度的分层如下：

• 顶点b, c 与起始点a的路径长度为1，因此b, c位于同一层
• 顶点d, e与起始点a的路径长度为2，因此d, e位于同一层
• 顶点f, g与起始点a的路径长度为3，因此f, g位于同一层

因此按照图的广度优先搜索进行遍历时，获得的遍历序列为： abcdefg

不过在图中，其遍历并不是唯一的，具体的遍历序列需要根据图的存储结构确定：

• 邻接矩阵：图的遍历序列唯一
• 邻接表、十字链表、邻接多重表：图的遍历序列不唯一

在这四种存储结构中，十字链表与邻接多重表的实现比较复杂，下面我们还是以简单的邻接矩阵和邻接表这两种存储结构来介绍BFS；

2.2 算法逻辑

2.2.1 连通图的遍历

因为广度优先遍历是一种层序遍历，参考二叉树的层序遍历，我们同样可以通过辅助队列来完成整个遍历的过程：

• 队列中存放当前遍历层的顶点信息以及下一层的顶点信息；
• 队头元素为当前需要进行访问的顶点
• 当队头元素出队时，与该顶点相邻的且未被访问过的顶点入队
• 当队列为空时，完成所有顶点的遍历

但是在图中，由于顶点之间可能存在相互邻接，那么为了正确判断当前顶点是否被访问，我们则需要通过一个额外的数组visited[]来判断当前邻接顶点是否被访问过。

整个逻辑可以用C语言代码表示为：

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];					// 访问标记数组
Queue* q = NULL;								// 队列指针
// 广度优先搜索
void BFS(Graph* G, int i) {q = Create_Queue();							// 创建队列visit(i);									// 访问起始点visited[i] = true;							// 添加访问标记EnQueue(q, i);								// 遍历起点入队while (!Is_Empety) {						// 队列为空时，停止遍历ElemType x = DeQueue(q);				// 队首元素出队for (ElemType y = FirstNeighbors(G, x); y != -1; y = NextNeighbors(G, x, y)) {if (!visited[y]) {					// 当前顶点未被访问visit(y);						// 访问当前顶点visited[y] = true;				// 添加访问标记EnQueue(q, y);					// 当前顶点入队}}}
}

在整个遍历的过程中，我们需要注意的是邻接顶点的获取。不同的存储结构，其获取邻接顶点的方法也有所不同。但是，不管采用何种存储结构，其广度优先遍历的逻辑是不会发生改变：

• 创建好一个空队列
• 遍历起始点并进行标记
• 起始点入队
• 队首元素出队
• 获取与队首顶点相邻的下一个顶点信息
  • 当该顶点被访问过，继续获取除该顶点以外的下一个顶点信息
  • 当该顶点未被访问过，访问该顶点并进行标记，将该顶点入队
• 当队列为空时，完成连通图中所有顶点的访问

2.2.2 非连通图的遍历

当给定的图为非连通图时，如果我们只是进行简单的 BFS 是无法完成对非连通图中的所有连通分量的访问的，因此我们还需要通过 visited[] 数组来判断是否存在未被访问的顶点：

// 图的BFS
void BFSTraverse(Graph* G) {// 初始化标记数组for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; i++) {visited[i] = false;}// 检查是否存在未被访问的顶点for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; i++) {if (!visited[i]) {		// 当前顶点未被访问BFS(G, i);			// 通过BFS完成该连通分量的访问}}
}

在上述代码中，BFS 被调用的次数与连通分量的个数相同：

• 当图G为连通图时，只会调用一次BFS 且起始点从下标为0的顶点开始
• 当图G为非连通图时，每次调用 BFS 都会完成一个连通分量的遍历

在后续的内容中，我们将会完成图中各种基本操作的实现，这里就不再展开，大家记得关注哦！！！

2.3 算法分析

在整个算法中，其主要的时间消耗为：

• 标记数组的初始化 —— $O(|V|)$
• 标记数组的检查 —— $O(|V|)$
• BFS的调用
  • 邻接表的实现中：
    • 顶点的入队 —— $O(|V|)$
    • 访问顶点 x 的所有邻边 —— $O(|E|)$
    • 总的时间复杂度为：$O(|V|+|E|)$
  • 邻接矩阵的实现中：
    • 顶点的入队 —— $O(|V|)$
    • 访问顶点x的所有邻边 —— $O(|V{|}^2)$
    • 总的时间复杂度为：$O(|V{|}^2)$

在前面的内容中我们有过详细的介绍，这里就不再重复赘述。

2.4 广度优先生成树

广度优先生成树 指的是通过 BFS 遍历图时，所得到的一个遍历树，该遍历树中保留了所有的顶点以及被正常访问的边。

这里需要理解的是何为正常访问的边，我们以下图为例：

在这个图中，各顶点与其邻接顶点的关系为：

• 顶点a与顶点b、顶点c相邻
• 顶点b与顶点a、顶点c、顶点d相邻
• 顶点c与顶点a、顶点b、顶点d相邻

当我们从顶点a开始进行 BFS 时，我们在完成顶点a的访问后，此时的队列中只有顶点a：

接下来会进一步访问其邻接顶点，与顶点a相邻的有两个顶点：

• 顶点b：未访问
• 顶点c：未访问

这里我们以访问顶点b为例，对应的边为：$(a,b)$。当访问完顶点b后，此时队列中只有顶点b：

接下来我们会继续访问顶点a除顶点b以外的下一个顶点c，对应的边为：$(a,c)$。完成顶点c访问后，此时队列中存在顶点b与顶点c：

第一轮对顶点a的邻接顶点访问结束，下面开始对顶点b的邻接顶点进行访问，此时与顶点b相邻的有3个顶点：

• 顶点a：已访问
• 顶点c：已访问
• 顶点d：未访问

由此我们需要继续访问的是顶点d，对应的边为：$(b,d)$。当完成了对顶点d的访问后，此时的队列中存在的顶点为：顶点d和顶点c

接下来不管是对顶点c还是顶点d的邻接点进行访问，都不存在未被访问的顶点，因此我们实际完成的访问边为：$(a,b)->(a,c)->(b,d)$，其边与对应顶点所得到的生成树为：

在原图中，边 $(b,c)、(c,d)$ 在整个遍历的过程中未完成访问，因此在生成树中被去掉。

PS:
判断一条边是否被访问，是通过判断在遍历的过程中是否同时访问了该边的两个顶点。如：

• 队首元素为顶点a，则当a完成出队操作后正常访问的顶点，其依附于该顶点与顶点a的边即为完成访问的边。

对于不同的存储结构而言，同一个图的广度优先生成树也存在区别：

• 邻接矩阵：有且仅有唯一的广度优先生成树
• 邻接表：有不唯一的广度优先生成树
• 十字链表：有不唯一的广度优先生成树
• 邻接多重表：有不唯一的广度优先生成树

导致这一差异的区别在于对边信息的存储方式的差异：

• 邻接矩阵：边的信息通过矩阵存储，对应的矩阵唯一
• 邻接表、十字链表、邻接多重表：边的信息通过链表进行存储，对应的边链表不唯一

因此，在探讨一张图所对应的广度优先生成树时，一定要弄清其具体的存储结构；

🌟 结语 | 探索不止，下期更精彩

广度优先搜索的内容我们就先介绍到这里，通过本文的学习，我们深入剖析了广度优先遍历（BFS）的核心逻辑：从分层遍历的思想到队列与visited数组的巧妙配合，从连通图的逐层扩散到非连通图的主动扫描，最终揭开广度优先生成树的奥秘。无论是邻接矩阵的唯一性，还是邻接表的灵活性，BFS都为我们展现了图遍历的分层之美。

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