（泛函分析）压缩映射

在泛函分析中，压缩映射（Contraction Mapping），也称为压缩算子或压缩函数，是一个非常重要的概念，特别是在不动点理论中。一个映射$T:X\to X$在一个度量空间$(X,d)$上被称为压缩映射，如果存在一个常数$k\in [0,1)$使得对于所有$x,y\in X$都有：
$$d(T(x),T(y))\le k\cdot d(x,y).$$
这意味着映射$T$将任何两点之间的距离缩小至少一个比例因子$k<1$。

核心性质

• Lipschitz连续性：压缩映像必然是Lipschitz连续的，且Lipschitz常数 $k<1$。
• 唯一不动点：在完备度量空间中，压缩映像存在唯一不动点（巴拿赫不动点定理）。

压缩映射原理（Banach不动点定理）

压缩映射原理是关于完备度量空间中的一个重要定理，它指出：如果$(X,d)$是一个完备的度量空间，并且$T:X\to X$是一个压缩映射，则$T$恰好有一个不动点$x^{\ast }\in X$，即满足$T(x^{\ast })=x^{\ast }$。此外，从$X$中任意一点$x_0$出发，通过迭代序列$x_{n+1}=T(x_n)$可以得到这个不动点$x^{\ast }$，并且该序列收敛于$x^{\ast }$。

示例问题

考虑求解方程$x^2-x-1=0$的正根。我们可以使用压缩映射原理来近似找到这个根。

解决方案

首先，注意到方程可以重写为$x=1+\frac{1}{x}$。定义映射$T(x)=1+\frac{1}{x}$。我们的目标是证明$T$在某个区间内是一个压缩映射，并利用Banach不动点定理找到其不动点作为原方程的解。

1. 选择合适的区间：假设我们关注$x>0$的情况，特别是$x\ge 1$。这是因为我们知道方程的正根大于1。

2. 验证$T$是否为压缩映射：我们需要检查是否存在$k<1$使得对于所有的$x,y\ge 1$有
   $$|T(x)-T(y)|=\left|1+\frac{1}{x}-(1+\frac{1}{y})\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\left|\frac{y-x}{xy}\right|\le k|x-y|.$$

   注意到$\frac{1}{xy}$在$x,y\ge 1$时最大值为1（当$x=y=1$时取等号），但实际上由于$x,y>1$，$\frac{1}{xy}<1$，因此我们可以选取$k=\frac{1}{\min (x,y{)}^2}$作为一个合理的估计，但为了简化，通常我们会尝试直接找到一个固定的$k<1$适用于整个区间。在这里，考虑到$x,y\ge 1$，我们可以选取$k=\frac{1}{2}$作为一个合理的估计，因为$\frac{1}{xy}$实际上会更小。

3. 应用压缩映射原理：既然我们已经表明$T$在区间$[1,+\infty )$上是压缩的（尽管上面的分析需要更精确地确定$k$的具体范围），根据Banach不动点定理，我们知道存在唯一的$x^{\ast }>1$使得$T(x^{\ast })=x^{\ast }$。我们可以通过迭代法$x_{n+1}=T(x_n)$从任一初始值开始逼近$x^{\ast }$。

例如，如果我们从$x_0=2$开始，那么迭代过程将是：

• $x_1=T(2)=1+\frac{1}{2}=1.5$
• $x_2=T(1.5)=1+\frac{2}{3}=\mathrm{1.666...}$
• 继续此过程直到数值稳定。

通过这种方式，我们可以逼近方程$x^2-x-1=0$的正根，这也是黄金分割比$\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

示例问题：在区间 $[0,1]$ 上，求方程 $x=\cos (x)$ 的解。

解析：

1. 定义映射：设 $T(x)=\cos (x)$，空间为 $X=[0,1]$，度量 $d(x,y)=|x-y|$。
2. 验证压缩性：
   $$|T(x)-T(y)|=|\cos (x)-\cos (y)|\le |x-y|(\text{由中值定理，导数 }|\sin (c)|\le 1).$$
   但此处 $k=1$，不满足严格压缩。需缩小定义域：
   • 在 $X=[0,\frac{\pi }{4}]$ 上，$|{\cos }^{\prime }(x)|=|\sin (x)|\le \sin (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$，故 $T$ 为压缩映像。
3. 应用定理：由巴拿赫不动点定理，存在唯一解 $x^{\ast }\in [0,\frac{\pi }{4}]$，且迭代 $x_{n+1}=\cos (x_n)$ 收敛于 $x^{\ast }$。

示例问题 微分方程边值问题
问题：求解边值问题：
$$\{\begin{array}{ll}{u}^{\prime \prime }(x)=f(x,u(x)),& x\in [0,1],\\ u(0)=u(1)=0.& \end{array}$$

解析：

1. 转化为积分方程：通过格林函数法，问题等价于：
   $$u(x)={\int }_0^{1}G(x,t)f(t,u(t))dt\triangleq T(u)(x),$$
   其中 $G(x,t)$ 为格林函数。
2. 验证压缩性：在适当函数空间（如 $C[0,1]$）中，若 $f$ 满足Lipschitz条件：
   $$|f(t,u)-f(t,v)|\le L|u-v|,$$
   则 $T$ 为压缩映像（压缩常数 $k=L\cdot {\max }_{x,t}|G(x,t)|$）。
3. 存在唯一解：由巴拿赫不动点定理，方程存在唯一解 $u^{\ast }\in C[0,1]$。

示例问题：经济学中的均衡问题
问题：在供需模型中，求市场均衡价格 $p^{\ast }$，使得供给量等于需求量：$S(p^{\ast })=D(p^{\ast })$。

解析：

1. 定义映射：设 $T(p)=p-\alpha (S(p)-D(p))$，其中 $\alpha >0$ 为调整参数。
2. 验证压缩性：若供需函数满足：
   $$|S^{\prime }(p)-D^{\prime }(p)|\le \frac{1}{\alpha },$$
   则 $T$ 为压缩映像。
3. 迭代求解：通过迭代 $p_{n+1}=T(p_n)$，可数值逼近均衡价格 $p^{\ast }$。