DAY01：【ML 第二弹】高等数学

1、导数的定义

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
或
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

2、左/右导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

2.1 左导数

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},(x=x_0+\Delta x)$$

2.2 右导数

$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

3、函数的可导性与连续性之间的关系

（1）函数$f(x)$在$x_0$处可微 $\iff$ $f(x)$在$x_0$处可导。
（2）若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立，即函数连续不一定可导。
（3）$f^{\prime }(x_0)$存在 $\iff$ $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

4、平面曲线的切线和法线

4.1 切线方程

$$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

4.2 法线方程

$$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f^{\prime }(x_0)\ne 0$$

5、四则运算

设函数$u=u(x)$，$v=v(x)$在点$x$可导，则：
（1）$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
（2）$(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$，$d(uv)=udv+vdu$
（3）${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$，$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$

6、基本导数与微分表

序号	函数$y$	导数$y^{\prime }$	微分$dy$
1	$y=c$（常数）	$0$	$0$
2	$y=x^{\alpha }$（$\alpha$ 为实数）	$\alpha x^{\alpha -1}$	$\alpha x^{\alpha -1}dx$
3	$y=a^x$	$a^x\ln a$	$a^x\ln adx$
	特例：$y=e^x$	$e^x$	$e^{x}dx$
4	$y={\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$\frac{1}{x\ln a}dx$
	特例：$y=\ln x$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x}dx$
5	$y=\sin x$	$\cos x$	$\cos xdx$
6	$y=\cos x$	$-\sin x$	$-\sin xdx$
7	$y=\tan x$	${\sec }^{2}x$（或 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$）	${\sec }^{2}xdx$
8	$y=\cot x$	$-{\csc }^{2}x$（或 $-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$）	$-{\csc }^{2}xdx$
9	$y=\sec x$	$\sec x\tan x$	$\sec x\tan xdx$
10	$y=\csc x$	$-\csc x\cot x$	$-\csc x\cot xdx$
11	$y=\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
12	$y=\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
13	$y=\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\frac{1}{1+x^2}dx$
14	$y=\mathrm{arccot}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$-\frac{1}{1+x^2}dx$
15	$y=\mathrm{sh}x$（双曲正弦）	$\mathrm{ch}x$（双曲余弦）	$\mathrm{ch}xdx$
16	$y=\mathrm{ch}x$	$\mathrm{sh}x$	$\mathrm{sh}xdx$

7、复合函数，反函数，隐函数的微分法

7.1 复合函数

若$\mu =\phi (x)$在点$x$可导，而$y=f(\mu )$在对应点$\mu$（$\mu =\phi (x)$）可导，则复合函数$y=f(\phi (x))$在点$x$可导，且：
$$y^{\prime }=f^{\prime }(\mu )\cdot {\phi }^{\prime }(x)$$

7.2 反函数

设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，且：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

7.3 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$

（1）方程两边对$x$求导：

$y$是$x$的函数，则$y$的函数（如 $\frac{1}{y}$，$y^2$，$\ln y$，$e^y$ 等）是$x$的复合函数，对$x$求导需按复合函数连锁法则进行。

（2）公式法：

由$F(x,y)=0$知：
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}$$
其中，$F_x^{\prime }(x,y)$、$F_y^{\prime }(x,y)$ 分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。

（3）利用微分形式不变性

8、常用高阶导数公式

（1）$(a^x{)}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a(a>0)$，$(e^x{)}^{(n)}=e^x$
（2）$(\sin kx{)}^{(n)}=k^n\sin \left(kx+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$
（3）$(\cos kx{)}^{(n)}=k^n\cos \left(kx+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$
（4）$(x^m{)}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}$
（5）$(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$
（6）莱布尼兹公式：若$u(x),v(x)$均$n$阶可导，则：
$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n{c}_n^i{u}^{(i)}{v}^{(n-i)}$$
其中$u^{(0)}=u$，$v^{(0)}=v$

9、微分中值定理

9.1 费马定理

若函数$f(x)$满足条件：

1. 函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有$f(x)\le f(x_0)$或$f(x)\ge f(x_0)$
2. $f(x)$在$x_0$处可导，则有$f^{\prime }(x_0)=0$

9.2 罗尔定理

设函数$f(x)$满足条件：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续
2. 在$(a,b)$内可导
3. $f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使$f^{\prime }(\xi )=0$

9.3 拉格朗日中值定理

设函数$f(x)$满足条件：

1. 在$[a,b]$上连续
2. 在$(a,b)$内可导，则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$

9.4 柯西中值定理

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：

1. 在$[a,b]$上连续
2. 在$(a,b)$内可导且$f^{\prime }(x)$，$g^{\prime }(x)$均存在，且$g^{\prime }(x)\ne 0$，则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

10、洛必达法则

10.1 法则Ⅰ（$\frac{0}{0}$型不定式极限）

设函数$f(x)$，$g(x)$满足：

• ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$
• $f，g$在$x_0$邻域可导（$x_0$处除外），且$g^{\prime }(x)\ne 0$
• ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在（或 $\infty$）
  则：
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

10.2 法则Ⅰ’（$\frac{0}{0}$型，$x\to \infty$情形）

设$f，g$满足：

• ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }g(x)=0$
• $|x|>X$时$f，g$可导，$g^{\prime }(x)\ne 0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在（或 $\infty$）
  则：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

10.3 法则Ⅱ（$\frac{\infty }{\infty }$型不定式极限）

设$f，g$满足：

• ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=\infty$
• $f，g$在$x_0$邻域可导（$x_0$处除外），且$g^{\prime }(x)\ne 0$
• ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在（或 $\infty$）
  则：
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

10.4 法则Ⅱ’（$\frac{\infty }{\infty }$型，$x\to \infty$情形）

同理法则Ⅰ’，将$x\to x_0$替换为$x\to \infty$即可（条件类似）

11、泰勒公式

设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于$x_0$的任意$x$，存在 $\xi$（介于$x_0$与$x$之间），使得：
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\cdots$$
其中余项$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$称为$f(x)$在点$x_0$处的$n$阶泰勒余项

麦克劳林公式（$x_0=0$时的泰勒公式）

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$$
余项$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$（$\xi$介于$0$与$x$之间）

常用函数的麦克劳林公式（带余项）

1. 指数函数$e^x$
   $$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\xi }(\xi \text{ 介于 }0\text{ 与 }x\text{ 之间})$$
   或
   $$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$$
2. 正弦函数$\sin x$
   $$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\sin \left(\xi +\frac{n+1}{2}\pi \right)$$
   或
   $$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$$
3. 余弦函数$\cos x$
   $$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cos \left(\xi +\frac{n+1}{2}\pi \right)$$
   或
   $$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$$
4. 对数函数$\ln (1+x)$
   $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)(1+\xi {)}^{n+1}}$$
   或
   $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$
5. 幂函数$(1+x{)}^m$
   $$(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+\frac{m(m-1)\cdots (m-n)}{(n+1)!}{x}^{n+1}(1+\xi {)}^{m-n-1}$$
   或
   $$(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

12、函数单调性的判断

12.1 判定定理

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，若对于任意$x\in (a,b)$，都有$f^{\prime }(x)>0$（或$f^{\prime }(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

12.2 取极值的必要条件

设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取极值，则$f^{\prime }(x_0)=0$

12.3 取极值的第一充分条件

设函数$f(x)$在$x_0$的某一邻域内可微，且$f^{\prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续，但$f^{\prime }(x_0)$不存在）：

1. 若当$x$经过$x_0$时，$f^{\prime }(x)$由“+”变“-”，则$f(x_0)$为极大值
2. 若当$x$经过$x_0$时，$f^{\prime }(x)$由“-”变“+”，则$f(x_0)$为极小值
3. 若$f^{\prime }(x)$经过$x=x_0$的两侧不变号，则$f(x_0)$不是极值

12.4 取极值的第二充分条件

设$f(x)$在点$x_0$处有$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，且$f^{\prime }(x_0)=0$，则：

• 当$f^{\prime \prime }(x_0)<0$时，$f(x_0)$为极大值
• 当$f^{\prime \prime }(x_0)>0$时，$f(x_0)$为极小值

注：如果$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，此方法失效

13、渐近线的求解

13.1 水平渐近线

若${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=b\text{或}{\lim }_{x\to -\infty }f(x)=b$，则$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线

13.2 铅直渐近线

若${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty \text{或}{\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$，则$x=x_0$称为$y=f(x)$的铅直渐近线

13.3 斜渐近线

若$a={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x},b={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]$，则$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线

14、函数凹凸性的判断

14.1 凹凸性判别定理

若在区间$I$上$f^{\prime \prime }(x)<0$（或$f^{\prime \prime }(x)>0$），则$f(x)$在$I$上是凸的（或凹的）

14.2 拐点判别定理（第一充分条件）

若在$x_0$处$f^{\prime \prime }(x_0)=0$（或$f^{\prime \prime }(x_0)$不存在），且当$x$经过$x_0$时，$f^{\prime \prime }(x)$变号，则$(x_0,f(x_0))$为拐点

14.3 拐点判别定理（第二充分条件）

设$f(x)$在$x_0$点的某邻域内有三阶导数，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$，则$(x_0,f(x_0))$为拐点

15、弧微分

$$dS=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$

16、曲率

16.1 显函数形式$y=f(x)$

曲线在点$(x,y)$处的曲率$k$为：
$$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

16.2 参数方程形式$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$

曲线的曲率$k$为：
$$k=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){]}^{3/2}}$$

17、曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k$（$k\ne 0$）与曲率半径$\rho$的关系为：
$$\rho =\frac{1}{k}$$

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微语录：你有那么多的以后，却没有现在，其实没有所谓的好的状态，只有立刻行动的自己，十八岁和二十八岁看到的风景是不一样的。