（泛函分析）范数和收敛

一、基本概念

1. 范数（Norm）

• 定义：在赋范线性空间$X$中，范数$\Vert \cdot \Vert$是一个满足以下性质的函数：
  1. 非负性：$\Vert x\Vert \ge 0$，且 $\Vert x\Vert =0⟺x=0$；
  2. 齐次性：$\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$（$\alpha$ 为标量）；
  3. 三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$。
• 作用：范数赋予向量空间“长度”的概念，是定义距离和收敛性的基础。

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2. 收敛性（Convergence）

泛函分析中的收敛性分为多种类型，核心区别在于“收敛”的标准不同：

• 强收敛（Strong Convergence）：
  • 定义：在赋范空间$X$中，序列 { x n } ⊂ X \{x_n\} \subset X {xn​}⊂X强收敛于$x\in X$，当且仅当$\Vert x_n-x\Vert \to 0$。
  • 特点：直接基于范数收敛，是最直观的收敛形式。
• 弱收敛（Weak Convergence）：
  • 定义：在赋范空间$X$中，序列 { x n } \{x_n\} {xn​}弱收敛于$x$，当且仅当对任意$f\in X^{\ast }$（$X$的共轭空间），有$f(x_n)\to f(x)$。
  • 特点：通过共轭空间中的泛函来刻画收敛，比强收敛更弱。
• 弱收敛（Weak Convergence）：
  • 定义：在共轭空间$X^{\ast }$中，序列 { f n } ⊂ X ∗ \{f_n\} \subset X^* {fn​}⊂X∗弱*收敛于$f$，当且仅当对任意$x\in X$，有$f_n(x)\to f(x)$。
  • 特点：适用于非自反空间（如$l^1$的共轭空间$l^{\infty }$）。

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3. 算子（Operator）

• 定义：设$X,Y$是赋范空间，算子$T:X\to Y$是映射，若满足线性性（$T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y)$），则称为线性算子。
• 分类：
  • 有界线性算子：存在常数$C>0$，使得$\Vert T(x)\Vert \le C\Vert x\Vert$对所有$x\in X$成立。
  • 无界线性算子：如微分算子$D:f\mapsto f^{\prime }$在$C[0,1]$上无界。
• 算子收敛性：
  • 一致收敛（按范数收敛）：$\Vert T_n-T\Vert \to 0$。
  • 强收敛：对任意$x\in X$，$\Vert T_{n}x-Tx\Vert \to 0$。
  • 弱收敛：对任意$x\in X$和$f\in Y^{\ast }$，$f(T_{n}x-Tx)\to 0$。

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二、关系与区别

1. 范数与收敛

• 范数是收敛的基础：收敛性（强/弱/弱*）均依赖于范数的定义。
• 强收敛：直接由范数定义（$\Vert x_n-x\Vert \to 0$）。
• 弱收敛：通过共轭空间中的泛函定义，不依赖范数的具体值。

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2. 强收敛 vs 弱收敛

• 包含关系：强收敛$\Rightarrow$弱收敛，但反之不成立。
• 例子：
  • 弱收敛但不强收敛：
    • 在$l^2$空间中，考虑标准基向量序列$e_n=(0,0,\dots ,1,0,\dots )$（第$n$项为1）：
      • 弱收敛：对任意$f\in (l^2{)}^{\ast }$，$f(e_n)\to 0$（因$f$是有限维投影）。
      • 强收敛：$\Vert e_n\Vert =1$不收敛到0，故不强收敛。

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3. 算子收敛性

• 一致收敛$\Rightarrow$强收敛$\Rightarrow$弱收敛，但逆推不成立。
• 例子：
  • 一致收敛：设$T_n:l^2\to l^2$为$T_n(x)=(x_1,x_2,\dots ,x_n,0,0,\dots )$，则$\Vert T_n-I\Vert \to 0$（$I$为单位算子），即一致收敛。
  • 强收敛但不一致收敛：
    • 设$T_n:l^2\to l^2$为$T_n(x)=(x_1,x_2,\dots ,x_n,0,0,\dots )$，对任意$x\in l^2$，$\Vert T_{n}x-x\Vert \to 0$（强收敛），但$\Vert T_n-I\Vert =1$（不一致收敛）。

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三、互相推导与包含关系

1. 范数与收敛的推导

• 强收敛$\Rightarrow$弱收敛：若$\Vert x_n-x\Vert \to 0$，则对任意$f\in X^{\ast }$，$|f(x_n)-f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x_n-x\Vert \to 0$。
• 弱收敛$\nRightarrow$强收敛：如$l^2$中的标准基向量序列。

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2. 算子收敛性的推导

• 一致收敛$\Rightarrow$强收敛：若$\Vert T_n-T\Vert \to 0$，则对任意$x$，$\Vert T_{n}x-Tx\Vert \le \Vert T_n-T\Vert \Vert x\Vert \to 0$。
• 强收敛$\nRightarrow$一致收敛：如$l^2$中的投影算子序列。

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四、具体例子

1. 强收敛 vs 弱收敛

• 空间：$l^2$（平方可和序列空间）。
• 序列：$e_n=(0,0,\dots ,1,0,\dots )$（第$n$项为1）。
  • 强收敛：$\Vert e_n\Vert =1$，不收敛到0。
  • 弱收敛：对任意$f\in (l^2{)}^{\ast }$，$f(e_n)\to 0$（因$f$是有限维投影）。

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2. 算子强收敛 vs 一致收敛

• 空间：$l^2$。
• 算子序列：$T_n(x)=(x_1,x_2,\dots ,x_n,0,0,\dots )$。
  • 强收敛：对任意$x\in l^2$，$\Vert T_{n}x-x\Vert \to 0$。
  • 不一致收敛：$\Vert T_n-I\Vert =1$（因$\Vert T_n{e}_n-I{e}_n\Vert =1$）。

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3. 压缩映射与不动点定理

• 压缩映射：设$T:X\to X$是压缩映射（存在$k\in [0,1)$使得$\Vert T(x)-T(y)\Vert \le k\Vert x-y\Vert$）。
• Banach不动点定理：在完备空间中，压缩映射有唯一不动点$x^{\ast }$，且迭代$x_{n+1}=T(x_n)$收敛到$x^{\ast }$。
• 例子：
  • 方程$x=1+\frac{1}{x}$的正根可通过迭代$x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}$收敛到黄金分割比$\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

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五、总结关系图

范数 → 定义距离 → 收敛性↓
强收敛（范数收敛） → 弱收敛（共轭空间收敛）↓
算子收敛性：
一致收敛（范数收敛） → 强收敛（逐点收敛） → 弱收敛（泛函收敛）

六、关键区别表

概念	定义	收敛标准	与强收敛的关系
强收敛	$|x_n-x|\to 0$	直接基于范数	强收敛$\Rightarrow$弱收敛
弱收敛	对所有$f\in X^{\ast }$，$f(x_n)\to f(x)$	通过共轭空间泛函刻画	弱收敛$\nRightarrow$强收敛
一致收敛	$|T_n-T|\to 0$	算子范数收敛	一致收敛$\Rightarrow$强收敛
强收敛（算子）	对所有$x\in X$，$|T_{n}x-Tx|\to 0$	逐点范数收敛	强收敛$\Rightarrow$弱收敛