伴随矩阵 -- 代数余子式矩阵的转置

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✅ 伴随矩阵详解（Adjugate Matrix）

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🔷 一、定义

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的方阵，伴随矩阵（也称为伴随矩阵或共轭矩阵）记作 $\text{adj}(A)$，
它是由 $A$ 的代数余子式矩阵的转置构成的矩阵。

📌 数学表达：

$$\text{adj}(A)={\left[A_{ij}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[C_{ji}\right]$$

其中：

• $A_{ij}$：表示第 $i$ 行第 $j$ 列的代数余子式；
• $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$：其中 $M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的子式行列式。

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🔷 二、代数余子式（Cofactor）

设矩阵 $A=[a_{ij}]$，那么：

• $M_{ij}$：去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式；
• $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$：代数余子式。

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🔷 三、计算步骤

✍️ 步骤总结：

1. 对于每个元素 $a_{ij}$，计算其代数余子式 $C_{ij}$；
2. 构建代数余子式矩阵 $C=[C_{ij}]$；
3. 对 $C$ 取转置，得到伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。

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🔷 四、例子

🎯 例子：设

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 1& 0& 6\end{array}\right]$$

第一步：计算代数余子式矩阵

我们逐项计算 $C_{ij}$：

• $C_{11}=(+1)\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 6\end{array}\right|=4\times 6-5\times 0=24$
• $C_{12}=(-1)\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 6\end{array}\right|=-(0\times 6-5\times 1)=-(-5)=5$
• $C_{13}=(+1)\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right|=0\times 0-4\times 1=-4$

类似计算所有 $C_{ij}$，得代数余子式矩阵：

$$C=\left[\begin{array}{ccc}24& 5& -4\\ -12& 3& 2\\ -2& -5& 4\end{array}\right]$$

第二步：转置得到伴随矩阵

$$\text{adj}(A)=C^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}24& -12& -2\\ 5& 3& -5\\ -4& 2& 4\end{array}\right]$$

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🔷 五、性质总结

✅ 性质 1：乘积与行列式

$$A\cdot \text{adj}(A)=\text{adj}(A)\cdot A=|A|\cdot I_n$$

✅ 性质 2：逆矩阵公式

如果 $A$ 可逆（即 $|A|\ne 0$），则：

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \text{adj}(A)$$

✅ 性质 3：$\text{adj}(I)=I$

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🔷 六、常见用途

用途	说明
解线性方程组	用 Cramer 法则时，需用到伴随矩阵
计算逆矩阵	当无法用高斯消元时，伴随矩阵法是备用方案
理论证明	行列式性质、线性变换等定理的证明中经常用到

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🔷 七、注意事项

• 复杂度高：计算代数余子式需要多个 $(n-1)\times (n-1)$ 行列式，计算量大；
• 仅适用于小矩阵或理论推导：在实际计算中，通常不使用伴随矩阵求逆，而用高斯-约当法更快。

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🧠 小结

• 伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置；

• 它在矩阵求逆、行列式计算、线性代数理论中非常重要；

• 利用伴随矩阵可以表达：

  $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \text{adj}(A)$$

  但前提是 $|A|\ne 0$。

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你提到的 $I_n$，它是线性代数中的一个标准记号，意思如下：

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✅ $I_n$ 是什么？

$I_n$ 表示一个 $n\times n$ 的单位矩阵（Identity Matrix）。

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🔷 什么是单位矩阵？

单位矩阵是一个对角线元素全为 1，非对角线元素全为 0 的方阵。

例如：

• $I_2$ 表示 2 阶单位矩阵：

  $$I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

• $I_3$ 表示 3 阶单位矩阵：

  $$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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🔷 单位矩阵的作用

1. 矩阵乘法的单位元：

   $$A{I}_n=I_{n}A=A$$

   类似于数值中的 $1\cdot a=a$。

2. 定义逆矩阵：
   如果 $A$ 是可逆矩阵，那么有：

   $$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I_n$$

3. 线性变换中的恒等变换：
   单位矩阵代表“不改变”的线性变换。

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