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lanqiaoOJ 4330：欧拉函数模板

news 来源：原创 2025/5/24 13:06:45

【题目来源】
https://www.lanqiao.cn/problems/4330/learning/

【问题描述】
这是一道模板题。
首先给出欧拉函数的定义：即 φ(n) 表示的是小于等于 n 的数中和 n 互质的数的个数。
比如说 φ(6)=2，当 n 是质数的时候，显然有φ(n)=n-1。

【题目大意】
给定 n 个正整数，请你求出每个数的欧拉函数。

【输入格式】
输入共两行。
第一行输入一个整数表示 n。
第二行输入 n 个整数。

【输出格式】
输出共 n 行，每行输出 1 个整数表示对应数字的欧拉函数。

【输入样例】
3
3 6 8

【输出样例】
2
2
4

【说明】
小于等于 3 的数中与 3 互质的有：1, 2。
小于等于 6 的数中与 6 互质的有：1, 5。
小于等于 8 的数中与 8 互质的有：1, 3, 5, 7。

【评测数据规模】
保证 1≤n≤100，输入的 n 个整数范围为 [1, 2×10^9]。

【算法分析】
● 欧拉函数 φ(n) 是数论中的重要函数，用于计算小于等于 n 的数中和 n 互质的数的个数。特别地，当 n=1 时，φ(1)=1。

● 欧拉函数的计算公式：若 N 的质因数分解为 N=p₁ᵏ¹×p₂ᵏ²×...×pₘᵏᵐ，则 φ(N)=N×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×...×(1-1/pₘ)。其中，p₁，…，pₘ，是 N 的所有质因数。
【例如，由于 18=2×3²，所以 φ(18)=18×(1-1/2)×(1-1/3)=6（表示 1~18 中与 18 互质的正整数有 1,5,7,11,13,17 等 6 个）。详见：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148135689】

● 欧拉函数性质‌
（1）若p是质数，φ(p)=p-1。
例如，φ(5)‌=5-1=4（表示 1~5 中与 5 互质的正整数有 1,2,3,4 等 4 个）。
（2）若n=pᵏ，φ(pᵏ)=pᵏ-pᵏ⁻¹。
例如，φ(8)‌=2³-2²=8-4=4（表示 1~8 中与 8 互质的正整数有 1,3,5,7 等 4 个）
（3）积性函数：当 a,b 互质时，φ(ab)=φ(a)φ(b)。
例如，φ(10)=φ(2)×φ(5)=1×4=4（表示 1~10 中与 10 互质的正整数有 1,3,7,9 等 4 个）
（4）通用计算公式：φ(N)=N×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×...×(1-1/pₘ)。其中，p₁，…，pₘ，是 N 的所有质因数。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=105;
int a[maxn];int oula(int x) {int ans=x;for(int i=2; i*i<=x; i++) {if(x%i==0) {ans=ans/i*(i-1);while(x%i==0) x/=i;}}if(x>1) ans=ans/x*(x-1);return ans;
}int main() {int n;cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++) {cin>>a[i];cout<<oula(a[i])<<endl;}return 0;
}/*
in:
3
3 6 8out:
2
2
4
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148159326
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148135689