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信号与系统03-信号的频域分析

news 来源：原创 2025/5/24 12:38:59

第3讲：信号的频域分析

一、引言

在信号处理中，频域分析是理解信号本质特征的重要工具。通过将信号从时域转换到频域，我们可以更直观地观察信号的频率组成，从而设计高效的滤波器、特征提取器或系统模型。而人工智能（AI）中的许多技术（如频谱分析、语音识别、图像压缩）都依赖于频域分析的核心思想。本节课将从傅里叶级数与傅里叶变换出发，结合AI中的典型应用，深入探讨频域分析的原理与实践。

二、傅里叶级数与傅里叶变换

（一）傅里叶级数（Fourier Series）

定义：任何满足狄利克雷条件的周期信号 $x (t)$ 都可以表示为一组正弦和余弦函数的线性组合：
$a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k \cos(2\pi k f_0 t) + b_k \sin(2\pi k f_0 t) \right]$
其中：
- $f_0 = \frac{1}{T}$ 是信号的基本频率；
- $a_0$ 是直流分量；
- $a_k, b_k$ 是傅里叶系数，表示各频率分量的幅度。
物理意义：将周期信号分解为不同频率的正弦/余弦分量，揭示其频域特性。
AI中的应用：在音频信号处理中，傅里叶级数用于提取语音或音乐的基频和谐波成分。

（二）傅里叶变换（Fourier Transform）

定义：对于非周期信号 $x (t)$ ，其傅里叶变换为：
$\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi f t} dt$
逆变换为：
$\int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi f t} df$
物理意义：将信号从时域转换到频域，表示信号在不同频率下的能量分布。
AI中的应用：
- 图像处理：频域滤波（如高通/低通滤波）用于图像锐化或模糊；
- 语音识别：短时傅里叶变换（STFT）用于提取语音信号的时频特征；
- 神经网络：频域卷积（如频域滤波器）用于加速计算或提取全局特征。

（三）快速傅里叶变换（FFT）

定义：FFT是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，其时间复杂度为 $\log N)$ ，远低于直接计算DFT的 $O(N^2)$ 。
数学表达式：
$\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1$
AI中的应用：
- 实时信号处理：在传感器数据或音频流中快速提取频域特征；
- 频谱分析：在机器学习中用于特征工程（如频谱峰值检测）。

三、频域分析在人工智能中的典型应用

（一）图像处理中的频域滤波

低通滤波：保留图像中的低频信息（平滑区域），去除高频噪声。
高通滤波：保留图像中的高频信息（边缘、细节），增强轮廓。

案例：在卷积神经网络（CNN）中，频域卷积核（如Butterworth滤波器）可用于替代传统空间域卷积，减少参数量并提高效率。

（二）语音识别中的频谱分析

短时傅里叶变换（STFT）：
$\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) w(\tau - t) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$
其中 $w(\tau)$ 是窗函数，用于局部化时域信号。
AI中的应用：STFT生成的时频图（如梅尔频谱图）是语音识别模型（如Transformer）的输入特征。

（三）神经网络中的频域操作

频域卷积：将卷积操作从时域转换到频域，利用傅里叶变换的卷积定理：
$\leftrightarrow X(f) H(f)$
即时域卷积对应频域乘积。
优势：
- 减少计算量（频域乘积比时域卷积快）；
- 提取全局频率特征（如图像中的纹理模式）。

四、Python实践：频域分析与AI应用

（一）生成信号并进行频谱分析

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 参数设置
fs = 1000  # 采样频率
t = np.linspace(0, 1, fs)
f1, f2 = 5, 20  # 信号频率# 生成复合正弦信号
x = np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t)# 快速傅里叶变换 (FFT)
X = np.fft.fft(x)
frequencies = np.fft.fftfreq(len(X), 1/fs)# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Time Domain Signal')
plt.xlabel('Time [s]')plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(frequencies[:len(frequencies)//2], np.abs(X[:len(X)//2]))
plt.title('Frequency Domain Spectrum')
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.tight_layout()
plt.show()

（二）AI中的频域处理（PyTorch示例）

import torch
import torch.nn as nn
import torch.fft as fft# 定义频域卷积层
class FrequencyConv1d(nn.Module):def __init__(self, in_channels, out_channels, kernel_size):super(FrequencyConv1d, self).__init__()self.kernel = nn.Parameter(torch.randn(out_channels, in_channels, kernel_size))def forward(self, x):# 时域转频域X = fft.fft(x, dim=-1)K = fft.fft(self.kernel, dim=-1)# 频域乘积Y = X * K.unsqueeze(0).unsqueeze(-2)# 频域转时域y = fft.ifft(Y, dim=-1).realreturn y# 示例：输入信号（形状: [batch_size, channels, length]）
input_signal = torch.randn(1, 1, 100)# 初始化频域卷积层
freq_conv = FrequencyConv1d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=3)# 前向传播
output = freq_conv(input_signal)
print("Input shape:", input_signal.shape)
print("Output shape:", output.shape)