蓝桥杯2025.5.23每日一题-儿童数

儿童数

若一个正整数 $n$ 满足 $n^{61}$ 整除 $2024!$，即 $2024!$ 除以 $n^{61}$ 的余数为 $0$，则称 $n$ 为儿童数。

现在，请你计算在区间 $[1,+\infty )$ 内一共有多少个儿童数。

前置知识

1. 勒让德公式

   $$v_p(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\lfloor \frac{n}{p^k}\rfloor$$

   可以用这个公式计算 $n!$ 的质因数 $p$ 的次数。

2. 整除的充要条件

   设 $a$ 和 $b$ 是正整数，且它们的质因数分解为：

   $$a=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k},b=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}\cdots p_k^{{\beta }_k}$$

   （若某个质数 $p_i$ 不在 $a$ 或 $b$ 的分解中，则对应的指数 ${\alpha }_i$ 或 ${\beta }_i$ 视为 $0$。）

   整除的充要条件

   $a\mid b$ 当且仅当 ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , k } , α i ≤ β i \forall i \in \{1, 2, \dots, k\}, \alpha_i \leq \beta_i ∀i∈{1,2,…,k},αi​≤βi​。

   即 $a$ 的所有质因数的幂次都不超过 $b$ 的对应幂次。

所以只要分解 $2024!$，然后要满足每个质因数的幂次 $p$ 满足 $61p\le e$。故最终答案为 $e//61+1$。

def is_prime(x):if x<=1:return  Falsefor i in range(2,x):if x%i==0:return  Falsereturn  Trued={}
for i in range(2,2024):if is_prime(i):cnt=0j=iwhile j<=2024:cnt+=2024//jj*=id[i]=cnt# print(d)
ans=1
for x,cnt in d.items():if cnt>=61:ans*=(cnt//61+1)
print(ans)