25.5.22学习总结

ST表（Sparse Table，稀疏表）是一种用于高效解决静态区间最值查询（RMQ）问题的数据结构。其核心思想是通过预处理每个长度为2^j的区间的最值，使得查询时只需合并两个子区间的最值即可得到结果，从而实现O(1)的查询复杂度。

一、核心特性

1. 预处理时间复杂度：O(nlog⁡n)

2. 查询时间复杂度：O(1)

3. 适用场景：静态数据（无修改操作）的区间最值查询。

4. 支持操作：可重复贡献且可结合的运算（如最大值、最小值、最大公约数等）。

二、构建过程

1. 初始化：

   • 定义二维数组st，其中st[i][j]表示从位置i开始、长度为2j的区间的最值。

   • 初始时，st[i][0] = arr[i]（即长度为1的区间的最值为元素本身）。

2. 动态规划填充：

   • 对于每个j（1≤j≤⌊log⁡2n⌋），遍历所有可能的起点i，满足i+2j−1<n。

   • 状态转移方程：

     st[i][j]=op(st[i][j−1],st[i+2j−1][j−1])其中op为合并操作（如取最大值或最小值）。

三、查询过程

对于区间[L,R]的最值查询：

1. 计算区间长度：len=R−L+1。

2. 确定最大幂次：k=⌊log⁡2len⌋。

3. 合并子区间结果：

   result=op(st[L][k],st[R−2k+1][k])这两个子区间分别覆盖[L,L+2k−1]和[R−2k+1,R]，确保完全覆盖原区间。

四、优缺点分析

• 优点：

  • 查询速度快（O(1)）。

  • 适用于多次查询静态数据的场景。

• 缺点：

  • 不支持动态修改。

  • 仅适用于可重复贡献的操作。

 五、ST表与线段树的比较

1. 时间复杂度对比

操作	ST表	线段树
预处理	O(nlog⁡n)	O(n)
查询	O(1)	O(log⁡n)
更新	不支持	O(log⁡n)

• ST表：查询极快（常数时间），但预处理稍慢，且不支持动态修改。

• 线段树：查询和更新均为对数时间，支持动态数据。

2. 空间复杂度对比

数据结构	空间复杂度
ST表	O(nlog⁡n)
线段树	O(n)

• ST表：需要二维数组存储预处理结果，空间消耗较大。

• 线段树：通常用一维数组实现（类似堆），空间更优。

3. 功能对比

功能	ST表	线段树
静态区间最值（RMQ）	✔️	✔️
动态区间最值/和	❌	✔️
区间更新	❌	✔️
可扩展性	❌	✔️

4. 适用场景

• 选择ST表：

  • 数据静态不变，且需要极快查询（如高频RMQ）。

  • 无需支持修改操作。

  • 例如：离线处理大量查询的RMQ问题。

• 选择线段树：

  • 数据动态变化，需要支持更新。

  • 查询类型复杂（如区间和、区间最值混合）。

  • 例如：实时更新的数据库区间统计。

六、例题

【模板】ST 表 && RMQ 问题https://www.luogu.com.cn/problem/P3865