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在微分几何中，曲面的法向量是一个基本而重要的概念。对于由隐函数方程 $F(x,y,z)=0$ 定义的曲面，其法向量可以通过计算函数 $F$ 的梯度得到。本文将深入探讨这一结论的数学推导，并使用 Python 的 SymPy 库进行符号计算验证。

数学推导

曲面的隐式表示与法向量定义

设曲面由方程 $F(x,y,z)=0$ 定义，其中 $F$ 是一个连续可微的函数。曲面在点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量定义为与该点处切平面垂直的向量。

证明梯度为法向量

要证明梯度向量 $\nabla F=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)$ 是曲面的法向量，我们需要证明它垂直于曲面上过 $P_0$ 点的任意一条切线。

考虑曲面上任意一条经过 $P_0$ 的光滑曲线 $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其中 $t=t_0$ 时，$\mathbf{r}(t_0)=P_0$。由于曲线完全在曲面上，对于所有 $t$，有：

$$F(x(t),y(t),z(t))=0$$

对等式两边关于 $t$ 求导，应用链式法则：

$$\frac{d}{dt}F(x(t),y(t),z(t))=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt}+$$