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系统工程与一般系统理论 | 技术 / 应用 / 跨领域认知融合

news 来源：原创 2025/5/22 14:38:44

注：英文引文，机翻未校。

Systems engineering techniques, tools, and procedures

系统工程技术、工具和程序

Written by
Hendrik W. Bode,
William K. Holstein•All
Fact-checked by
Last Updated: May 2, 2025

If a system is both large and complex in the sense in which these terms have been defined, it may be difficult to find out how it works. A large part of the content of systems engineering consists of techniques for the investigation of such relatively complex situations.
如果一个系统在上述定义的意义上既庞大又复杂，那么弄清楚它是如何工作的可能会很困难。系统工程的大部分内容包括用于研究这种相对复杂情况的技术。

Modeling and [optimization](https://www.britannica.com/science/optimization )

建模与优化

Perhaps the most fundamental technique is the flow diagram, or [flowchart](https://www.britannica.com/money/flowchart ), a graphical display composed of boxes representing individual components or subsystems of the complete system, plus arrows from box to box to show how the subsystems interact. Though such a representation is very useful in an initial study, it is, of course, essentially qualitative. A more effective approach in the long run is [construction](https://www.britannica.com/technology/construction ) of a so-called [mathematical model](https://www.britannica.com/science/mathematical-model ), which consists of a set of equations, or sometimes simply of tables and curves, describing the interactions within the system in quantitative terms. It is not necessary for the mathematical model to be exact, as long as it serves its purpose. It frequently consists of piecewise linear approximations to basically nonlinear situations (i.e., a series of short straight lines that roughly approximate a curve). After the model has been constructed and checked, a number of mathematical techniques can be employed (including [straightforward](https://www.britannica.com/dictionary/straightforward ) enumeration and computing) to find out what it says about the actual operation of the system. Often these calculations will have a probabilistic or statistical flavour.
也许最基本的技巧是流程图，或流程图，这是一种由代表完整系统的各个组件或子系统的方框以及表示子系统之间相互作用的箭头组成的图形显示。尽管这种表示在初步研究中非常有用，但它本质上是定性的。从长远来看，更有效的方法是构建一个所谓的数学模型，它由一组方程组成，有时仅由表格和曲线组成，用于定量描述系统内的相互作用。数学模型不需要精确，只要它能达到目的即可。它通常由分段线性近似组成，用于基本非线性情况（即一系列短直线大致近似一条曲线）。模型构建并检查后，可以使用多种数学技术（包括直接的枚举和计算）来了解它对系统实际运行情况的描述。这些计算通常具有概率或统计的性质。

When the components or subsystems interact significantly, it may be possible to achieve essentially the same final level of performance in many different ways. Limited performance by one subsystem may be offset by superior performance somewhere else. These optimization studies, called trade-offs, are important in suggesting how to achieve a given result in the most economical manner. They are equally valuable in suggesting whether or not the proposed result is in fact a reasonable goal to aim for. It may be found, for example, that a modest reduction in performance will permit radical savings in overall cost or, [conversely](https://www.britannica.com/dictionary/conversely ), that the postulated equipment is capable of much better performance than is asked of it, at only nominally greater expense. (It may also turn out that the equipment can supply useful functions not originally contemplated. Computing systems, for example, can usually perform extra chores of record keeping at little increased cost.) For all of these reasons, studies of such variables are an important part of systems engineering, both in the early exploratory phases of a project and in the final design.
当组件或子系统之间相互作用显著时，可能可以通过许多不同的方式达到几乎相同的最终性能水平。一个子系统的性能有限可能会被其他地方的卓越性能所抵消。这些优化研究被称为权衡，它们在建议如何以最经济的方式实现给定结果方面很重要。它们同样有助于判断所提出的结果是否是一个合理的目标。例如，可能会发现，适度降低性能可以实现整体成本的大幅节省，或者反之，所假设的设备能够以仅略高的成本实现比要求更好的性能。（还可能发现，设备可以提供一些原本未被考虑的有用功能。例如，计算机系统通常可以在几乎没有增加成本的情况下承担额外的记录保存工作。）由于所有这些原因，对这些变量的研究是系统工程的重要组成部分，无论是在项目的早期探索阶段还是在最终设计阶段。

Identifying objectives

确定目标

The formulation of suitable objectives for the final system is so important a part of the systems engineering process that it deserves special attention. It is, of course, always possible to state the general objectives of a system in vague or perfectionist terms. A sufficiently clear, precise, and [comprehensive](https://www.merriam-webster.com/dictionary/comprehensive ) statement to serve as a basis for [engineering studies](https://www.britannica.com/science/engineering-studies ), however, is another matter. Unless the situation has been well explored in the past, the real choices are not likely to be obvious when the work begins. Thus, the first task of the systems engineer is to develop as clear a formulation of objectives as possible. This usually involves computations and consultation with others interested in the system. Because the final statement must reflect value judgments as well as purely technical considerations, the systems engineer does not try to do this thinking alone but attempts to serve as a working focus and [catalyst](https://www.merriam-webster.com/dictionary/catalyst ). Although issues of this sort naturally present themselves with particular force near the beginning of a systems study, they may recur in subsequent steps. The question of objectives is never really out of the systems engineer’s mind.
为最终系统制定合适的目标是系统工程过程中如此重要的一部分，以至于它值得特别关注。当然，总是可以用模糊或完美主义的措辞来表述一个系统的总体目标。然而，要提出一个足够清晰、精确且全面的陈述以作为工程研究的基础则是另一回事。除非过去已经对这种情况进行了充分的探索，否则在工作开始时，真正的选择不太可能是显而易见的。因此，系统工程师的首要任务是尽可能清晰地制定目标。这通常涉及计算和与对该系统感兴趣的其他人的协商。由于最终声明必须反映价值判断以及纯粹的技术考虑，系统工程师不会试图独自进行这种思考，而是试图成为工作的焦点和催化剂。尽管这类问题自然会在系统研究的开始时以特别强烈的方式出现，但它们也可能在后续步骤中再次出现。目标问题永远不会真正离开系统工程师的头脑。

The principal reason why a satisfactory statement of objectives may present such a problem is simply that most systems have multiple objectives, often in conflict with one another. In the design of transport aircraft, for example, there are a multitude of desirable characteristics, such as range, speed, payload, and safety, to be maximized, as well as undesirable characteristics, such as noise generation and [air pollution](https://www.britannica.com/science/air-pollution ), to be minimized. Because the same design cannot do the best job in all of these directions, a [compromise](https://www.britannica.com/dictionary/compromise ) achieving the most desirable overall performance is required. The most attractive compromise, which may require both study and ingenuity, is not likely to be found at all until some hard thinking has been done about what characteristics are really needed.
令人满意的目标陈述可能存在问题的主要原因是，大多数系统都有多个目标，这些目标往往相互冲突。例如，在运输飞机的设计中，有许多期望的特性，如航程、速度、载荷和安全性，需要最大化，同时也有不期望的特性，如噪音产生和空气污染，需要最小化。由于同一设计无法在所有这些方面都做到最好，因此需要达成一项实现最理想整体性能的妥协。在对真正需要的特性进行深入思考之前，不太可能找到最具吸引力的妥协方案，而这一方案可能需要研究和创造性思维。

Especially difficult problems in defining objectives may arise when an existing [technology](https://www.britannica.com/technology/technology ) is transplanted to some new disciplinary area. An example is the application of [electronics](https://www.britannica.com/technology/electronics ) such as computer techniques to medicine and education. It seldom happens in such cases that the best system is based on a simple one-for-one substitution, such as direct replacement of a classroom teacher by electronic hardware and [computer-assisted instruction](https://www.britannica.com/topic/computer-assisted-instruction ) materials. It is much more likely that the most effective plan will turn out to be a rather complicated mixture of the old and the new. This conclusion, however, is likely to raise basic issues about the actual objectives of the new system, issues made no simpler by the interdisciplinary nature of the situation.
当现有的技术被移植到新的学科领域时，定义目标可能会出现特别困难的问题。例如，将计算机技术等电子技术应用于医学和教育领域。在这种情况下，很少会出现基于简单的“一对一”替代的最佳系统，例如直接用电子硬件和计算机辅助教学材料取代课堂教师。更有可能的是，最有效的计划将是一个新旧混合的复杂组合。然而，这一结论可能会引发关于新系统实际目标的基本问题，而这些问题由于其跨学科的性质而变得更加复杂。

A [design](https://www.britannica.com/topic/design-arts-and-technology ) example

一个设计示例

The design of the commercial transport plane mentioned above is an example of a systems engineering problem. In such a design the [aerodynamic lift](https://www.britannica.com/science/lift-physics ), the drag of fuselage and wings, the control apparatus, the propulsion system, and such [auxiliary](https://www.merriam-webster.com/dictionary/auxiliary ) hardware as the landing gear all interact substantially. One element cannot be disturbed without affecting the others; all elements and aspects of the total system, and the interactions among them, must be considered. Thus, if designers make the fuselage fatter and the wings smaller in an effort to carry more payload at the same or higher speeds, a new [control system](https://www.britannica.com/technology/control-system ) might be needed because of the changes produced in the overall mechanical and aerodynamic characteristics of the vehicle. Stronger and heavier landing gear might be needed to withstand higher landing speeds. Almost surely, the new design would call for larger engines and fuel tanks to [compensate](https://www.britannica.com/dictionary/compensate ) for greater aerodynamic drag. Thus the designers would have lost ground in some respects and gained in others. The new plane might be more useful for short flights when not much fuel must be carried but less useful for long ones. Obviously, the system objective—the kind of airplane actually wanted—must control the direction of any such study.
上述提到的商用运输机的设计是一个系统工程问题的示例。在这种设计中，空气动力升力、机身和机翼的阻力、控制装置、推进系统以及诸如起落架等辅助硬件之间都有显著的相互作用。一个元素的改变会影响其他所有元素；必须考虑整个系统的所有元素和方面以及它们之间的相互作用。因此，如果设计者为了在相同或更高的速度下运载更多的货物而使机身变粗、机翼变小，可能需要一个新的控制系统，因为这会改变飞行器的整体机械和空气动力特性。可能需要更坚固、更重的起落架来承受更高的着陆速度。几乎可以肯定的是，新设计需要更大的发动机和油箱来补偿更大的空气动力阻力。因此，设计者在某些方面可能会有所退步，而在其他方面则有所进步。新型飞机可能更适合短途飞行，因为短途飞行不需要携带太多燃料，但对于长途飞行则不太适用。显然，系统目标——真正想要的飞机类型——必须控制此类研究的方向。

The study becomes more interesting if a possible advance in basic technology is considered, such as an improvement in propulsion or aerodynamics, and it is desired to determine how it might best be applied in a new airplane design. The central systems engineering question then would probably [encompass](https://www.merriam-webster.com/dictionary/encompass ) the relation between the available new plane characteristics and the needs of the existing [air transportation](https://www.britannica.com/technology/aviation ) system. Clearly, such an investigation can be made only by going to one of the upper levels in the systems [hierarchy](https://www.merriam-webster.com/dictionary/hierarchy ).
如果考虑到基础技术的可能进步，例如推进或空气动力学的改进，并且希望确定如何将其最好地应用于新型飞机设计中，那么研究将变得更加有趣。那么，系统工程的核心问题可能将涵盖新型飞机特性与现有航空运输系统需求之间的关系。显然，这样的调查只能通过进入系统层次的上层来进行。

Finally, to operate the new airplane successfully, a whole series of supporting functions may be required, including routine checkout, maintenance, and spare parts supply, in addition to functions directly involved in the plane’s flight. Though, under normal circumstances, these might readily be handled by the existing operating staff, it is part of the user orientation of the systems approach that the systems engineer is expected to anticipate any new requirements and make sure they are properly planned for.
最后，要成功运营新型飞机，可能需要一系列支持功能，包括日常检查、维护和备件供应，以及直接涉及飞机飞行的职能。尽管在正常情况下，这些职能可能很容易由现有的运营人员处理，但系统方法的用户导向意味着系统工程师需要预测任何新的需求，并确保它们得到妥善规划。

To make adequate comparisons between competing objectives, a logical [frame of reference](https://www.britannica.com/science/reference-frame ), broad enough to include both, is needed. Thus, the systems engineer may study many situations in the framework of more than one system or a whole hierarchy of systems of steadily increasing generality. In the example of an airplane, the airplane itself is a possible system, as are the group of planes owned by one airline, the total number of airplanes in a particular country, and that nation’s [transportation](https://www.britannica.com/technology/transportation-technology ) facilities. Though the simplest system—the airplane itself—is a satisfactory reference for specific design problems, a more general framework may be needed to approach broader problems. Thus the individual airplane designer may seek to [ameliorate](https://www.merriam-webster.com/dictionary/ameliorate ) air-traffic congestion by improving airplane takeoff and landing characteristics, permitting better utilization of existing airports. The airlines in turn may suggest construction of more and better airports. From the point of view of the transportation system as a whole, the best step might be to invest more money in [high-speed rail](https://www.britannica.com/technology/high-speed-rail ) facilities to carry part of the air-traffic load. In systems engineering the error of studying the problem within too narrow a framework is called the error of suboptimization.
为了在竞争目标之间进行充分的比较，需要一个足够宽泛的逻辑参考框架，以包含两者。因此，系统工程师可能会在多个系统或整个不断扩大的系统层次的框架内研究许多情况。以飞机为例，飞机本身是一个可能的系统，而一家航空公司拥有的飞机群、一个国家内的飞机总数以及该国的运输设施也都是系统。尽管最简单的系统——飞机本身——对于特定设计问题是令人满意的参考，但要解决更广泛的问题，可能需要一个更一般的框架。因此，单个飞机设计师可能会通过改善飞机的起飞和着陆特性来缓解空中交通拥堵，从而更好地利用现有机场。航空公司则可能会建议建设更多更好的机场。从整个运输系统的角度来看，最好的步骤可能是投资更多资金用于高速铁路设施，以分担部分航空交通负荷。在系统工程中，将问题研究范围限定得过窄的错误被称为次优化错误。

User orientation

用户导向

The stress on systems objectives has one further consequence worth mentioning; i.e., that systems engineering is likely to be strongly user-oriented. This results naturally enough from the fact that systems objectives usually relate to overall performance, which is what the final user is interested in. The identity of technical interest between the systems engineer and the final user is usually marked; systems engineering is likely to give special consideration to such qualities as reliability, ease of maintenance, and convenience in operation. Moreover, the final step of a systems engineering project is typically an evaluation that attempts to find out how well the system works in the hands of the user.
强调系统目标还有一个值得提及的后果，即系统工程很可能是以用户为导向的。这很自然地源于系统目标通常与整体性能有关，而这正是最终用户感兴趣的。系统工程师与最终用户之间的技术利益通常是一致的；系统工程很可能会特别考虑诸如可靠性、易于维护和操作方便性等品质。此外，系统工程项目的最后一步通常是进行评估，以了解系统在用户手中运行得如何。

Tools

工具

The most obvious aspect of systems engineering tools is their great [diversity](https://www.merriam-webster.com/dictionary/diversity ). A leading text in the field states that “there is virtually no scientific [discipline](https://www.merriam-webster.com/dictionary/discipline ) which may not be used in the design of some large-scale system” and singles out probability, mathematical [statistics](https://www.britannica.com/science/statistics ), computing, system logic, [queuing theory](https://www.britannica.com/science/queuing-theory ), [game theory](https://www.britannica.com/science/game-theory ), [linear programming](https://www.britannica.com/science/linear-programming-mathematics ), [cybernetics](https://www.britannica.com/science/cybernetics ), group [dynamics](https://www.merriam-webster.com/dictionary/dynamics ), [simulation](https://www.britannica.com/science/simulation ), [information theory](https://www.britannica.com/science/information-theory ), servomechanism theory, and [human engineering](https://www.britannica.com/topic/human-factors-engineering ). To this list might also be added [decision theory](https://www.britannica.com/science/decision-theory-statistics ), nonlinear programming, some elements of econometrics, and communications theory as related to random processes.
系统工程工具最明显的特点是它们的多样性。该领域的权威教材指出：“几乎没有任何一门科学学科不被用于设计某些大规模系统”，并特别提到了概率论、数理统计、计算、系统逻辑、排队理论、博弈论、线性规划、控制论、群体动力学、模拟、信息论、伺服机构理论和人因工程。此外，还可以将决策理论、非线性规划、计量经济学的一些元素以及与随机过程相关的通信理论加入到这个列表中。

In spite of this diversity, many of the tools of [systems theory](https://www.britannica.com/topic/systems-theory ) can be grouped under a few major headings. The [analytic](https://www.merriam-webster.com/dictionary/analytic ) problems associated with optimization, for example, are a recurrent theme. Probability and statistics are also major areas that carry with them numerous more specialized topics, such as queuing theory and much of communications theory. Finally, computing is a major field for the systems engineer. If all else fails, direct calculation or simulation may produce the desired results.
尽管存在这种多样性，许多系统理论的工具可以归纳为几个主要类别。例如，与优化相关的分析问题是反复出现的主题。概率论和统计学也是主要领域，它们还涵盖了众多更专门的主题，如排队理论和通信理论的大部分内容。最后，计算是系统工程师的主要领域。如果其他方法都失败了，直接计算或模拟可能会产生所需的结果。

These fields are all essentially mathematical in nature. The systems engineer may need knowledge and skills of other sorts as well. The mathematical model and associated objective functions that conventionally begin a [systems analysis](https://www.britannica.com/topic/systems-analysis-information-processing ), for example, are only satisfactory to the extent that they adequately represent the real physical situation. The adequacy of a mathematical model in this sense, however, is a matter of physical or [engineering](https://www.britannica.com/technology/engineering ) rather than mathematical judgment. In some circumstances the systems engineer may also need to know something about experimental procedures in general and, in particular, about ways of maximizing the amount of information from a given testing program. This is particularly likely to happen in urgent high-risk projects, like space exploration or nuclear power generation, in which intermediate testing failures are bound to occur, and the systems engineer, as part of his overall responsibility, must decide what to do next. Even in simpler cases, in which the project should close in a final test and evaluation phase, the systems engineer is responsible for ensuring that this work is adequately carried out. A closely related question is the monitoring of testing procedures for routine quality control purposes. This also is logically part of the systems engineer’s duties, which reflect a basic user orientation. When reliability is very important, as in space programs, it may be a major responsibility.
这些领域本质上都是数学性质的。系统工程师可能还需要其他类型的知识和技能。例如，传统的系统分析的起点是数学模型和相关的目标函数，但它们只有在充分代表实际物理情况时才是令人满意的。然而，数学模型在这种意义上的充分性是一个物理或工程判断问题，而不是数学判断问题。在某些情况下，系统工程师可能还需要了解一般的实验程序，特别是如何从给定的测试程序中获取最大量的信息。这种情况特别可能发生在紧急的高风险项目中，如太空探索或核能发电，在这些项目中，中间测试失败是不可避免的，而系统工程师作为其整体责任的一部分，必须决定下一步该做什么。即使在更简单的情况下，项目应该以最终测试和评估阶段结束，系统工程师也有责任确保这项工作得到充分执行。一个密切相关的问题是对测试程序进行常规质量控制目的的监控。从逻辑上讲，这也是系统工程师的职责，反映了其基本的用户导向。当可靠性非常重要时，如在太空计划中，这可能是一个主要责任。

When the systems engineer’s job is defined as including significant management responsibility, some acquaintance with modern management techniques is an obvious requirement. The techniques of particular importance are those that bear most directly on cost figuring and scheduling technological developments.
当系统工程师的工作被定义为包括重大的管理责任时，熟悉现代管理技术显然是一个要求。特别重要的技术是那些最直接涉及成本计算和安排技术发展的技术。

Finally, systems engineering is used in new situations that may involve the application of new discoveries in science or technology to existing technical areas or the application of known science or technology in new contexts. In either case the systems engineer obviously needs considerable substantive knowledge of the fields involved in order to make reliable plans.
最后，系统工程被用于新的情况，这可能涉及将新的科学或技术发现应用于现有的技术领域，或者将已知的科学或技术应用于新的背景。在这两种情况下，系统工程师显然需要对所涉及的领域有相当多的实质性知识，以便制定可靠的计划。

It is apparent that no single person is likely to meet all of these specialized qualifications. Thus, systems engineering on any significant scale almost invariably involves a team approach.
显然，没有一个人可能具备所有这些专业资格。因此，任何规模较大的系统工程几乎总是涉及团队方法。

Applications of systems engineering

系统工程的应用

Many useful systems are, in effect, modifications of previous designs. The proportions of the subsystems may be changed, but no substantial function has been added or left out. Chemical-processing plants and information systems, for example, are likely to be of this sort. The basic task of the systems engineer in such a situation is relatively straightforward; it is essentially a matter of reoptimizing the existing design to meet the new conditions.
许多有用的系统实际上是以前设计的修改。子系统的比例可能发生了变化，但没有增加或省略任何重大功能。例如，化工厂和信息系统很可能属于这种类型。在这种情况下，系统工程师的基本任务相对直接；本质上是重新优化现有设计以满足新条件。

In other circumstances, however, the basic systems concept represents a more radical break with the past. The new concept may involve the introduction of new functions or the realization of old functions in new ways. On the other hand, it may merely involve a radical change in system parameters (constants).
然而，在其他情况下，基本的系统概念与过去相比是一个更激进的突破。新概念可能涉及引入新功能或以新方式实现旧功能。另一方面，它可能只涉及系统参数（常数）的激进变化。

The development of radically new systems

全新系统的开发

Radically new systems concepts are like inventions in ordinary engineering. Usually offering a substantial advance in overall performance, more than would be expected from a modest reproportioning of a known system, these clearly deserve special attention. On the other hand, in many cases it is impossible to predict accurately in advance of the development just what performance may be achievable in one or more of the critical elements of the new system. This leaves the systems engineer with a special problem in planning, which is usually addressed by establishing a minimum acceptable level of performance for the critical elements, with the rest of the system so arranged that whatever is realized beyond this level will appear as growth potential in the overall capabilities of the system. Thus definitive optimization studies may be postponed until the system is better understood.
全新的系统概念就像普通工程中的发明一样。通常，它们提供了一个显著的性能提升，这比对已知系统的适度重新调整所期望的要多，这些显然值得特别关注。另一方面，在许多情况下，在开发之前很难准确预测新系统的一个或多个关键要素可以实现什么性能。这给系统工程师在规划中带来了一个特殊问题，通常通过为关键要素设定最低可接受性能水平来解决，同时将系统的其余部分安排得如此，以至于在这一水平之外实现的任何东西都将表现为系统整体能力中的增长潜力。因此，明确的优化研究可能会推迟到系统被更好地理解之后。

The Nike Ajax missile system provides an example of the application of a radically new systems concept. The simple realization that the technology was available to provide a missile that could outmaneuver an enemy bomber taking evasive action was perhaps the systems invention in this case. (Guided missiles had been thought of before, but only for use against targets simpler than a rapidly maneuvering airplane.) In a more limited sense, however, the key idea in the overall systems concept was probably the decision to use a command-guidance system, as opposed, for example, to a homing system.
“耐克·阿贾克斯”导弹系统是应用一种全新系统概念的一个例子。简单地认识到技术已经可以提供一种能够躲避正在采取规避动作的敌方轰炸机的导弹，也许是这个案例中的系统发明。（以前也曾想过用制导导弹，但只是用于对付比快速机动飞机更简单的目标。）然而，在更有限的意义上，整个系统概念的关键想法可能是决定使用指令制导系统，而不是例如寻的系统。

In the command system, both the radars used for tracking the aircraft and the intercepting missile and the computer that calculates how the missile should change course are on the ground. Such a system requires a minimum of control apparatus in the missile. It also allows the missile to follow computer-determined paths that are aerodynamically favourable. This was an especially important consideration at the time in maximizing the range achievable with available propulsion systems. It also allows, through the computer, maximum flexibility in dealing with evasive action by the target. On the other hand, adequate accuracy from the ground-tracking system becomes increasingly difficult in a command system as the range is increased, whereas a homing system is not so limited. Thus the adoption of the command system implied a belief that the ground radars would be accurate enough to provide satisfactory interception even at the limits of the expected field of fire. As the development turned out, tracking accuracies were more than adequate for the purpose, and the surplus provided growth potential toward still longer ranges and higher probabilities of interception. (In other circumstances, of course, a different choice might have been better.)
在指令系统中，用于跟踪飞机和拦截导弹的雷达以及计算导弹应该如何改变航向的计算机都在地面。这种系统要求导弹上的控制设备最少。它还允许导弹沿着计算机确定的、空气动力学上有利的路径飞行。在当时，这对于最大化可用推进系统能够达到的射程是一个特别重要的考虑因素。它还允许通过计算机，最大限度地灵活应对目标的规避动作。另一方面，随着射程的增加，在指令系统中，地面跟踪系统的足够精度越来越难以实现，而寻的系统则没有这种限制。因此，采用指令系统意味着相信地面雷达足够精确，即使在预期火力范围的极限，也能提供令人满意的拦截效果。事实证明，跟踪精度对于这一目的绰绰有余，而且剩余的精度为射程的进一步延长和拦截概率的进一步提高提供了增长潜力。（当然，在其他情况下，可能另一种选择会更好。）

Long-term systems development

长期系统开发

Thus far the description of systems engineering may seem to suggest that systems engineering efforts are essentially episodic. In many situations, however, there are important elements of continuity in what the systems engineer actually does. He is likely, in fact, to work on a series of similar problems as part of a long-term effort. In the case of telephone engineering, systems engineering groups have been set up formally as permanent parts of the overall organizational structure, each group having cognizance over some wide area of telephone technology. Thus continuity in this case may extend over many years.
到目前为止，对系统工程的描述可能给人一种印象，即系统工程的努力本质上是间歇性的。然而，在许多情况下，系统工程师实际工作的重要部分具有连续性。事实上，他很可能会作为长期努力的一部分，连续处理一系列类似的问题。在电话工程的情况下，系统工程团队已经被正式设立为整个组织结构的永久组成部分，每个团队负责电话技术的某个广泛领域。因此，在这种情况下，连续性可能会持续多年。

Telephone engineering makes a particularly good example of this because of the importance of long-range forecasting for the telephone plant. One of the important responsibilities of the systems engineer in this field, for example, involves establishment of performance standards for new items in the plant. In most fields the systems engineer’s role in this respect is comparatively modest because performance standards represent value judgments established by others. In telephony the systems aspects are more conspicuous because, at any given instant, the plant is a composite of new and old items, designed at different times in different ways to meet a variety of assumed operating conditions. The pieces must all work together. Any new apparatus or system must be compatible with what already exists. In addition, however, if an orderly evolution of the plant is to continue, the new apparatus must also be suited to the traffic and service needs of the future. Thus the systems engineer’s responsibility, to provide a sort of long-term doctrine of performance standards, becomes very important.
电话工程是这种长期连续性的特别好的例子，因为对电话设施进行长期预测非常重要。例如，系统工程师在这一领域的一个重要职责是为工厂中的新项目制定性能标准。在大多数领域，系统工程师在这方面的作用相对较小，因为性能标准代表了由他人确立的价值判断。然而，在电话领域，系统方面的特点更为显著，因为电话设施在任何给定时刻都是由不同时期以不同方式设计的旧设备和新设备组成，以满足各种假设的运行条件。所有这些部分必须协同工作。任何新设备或系统都必须与现有设备兼容。然而，如果要保持设施的有序演变，新设备还必须适应未来的流量和服务需求。因此，系统工程师的责任——提供一种长期的性能标准指导方针——变得非常重要。

Somewhat the same considerations affect the economics of new telephone systems. Here again a carefully developed forecast is essential. On the one hand, there are usually substantial economies of scale in communication apparatus. Thus it pays to take big steps in installing new equipment. On the other hand, capital charges on under-utilized equipment are likely to be excessive. Because the successive steps of design, production, and installation of a complicated system may take years, and because meanwhile both technology and service demands may change materially, the situation may increase in complexity, and the systems engineers may find that the choice of the most inviting system involves a calculated risk. They are responsible for judging the degree to which new possibilities should be exploited at any time. The principal result of assigning the telephone systems engineers a continuing organizational position and function is to put them into much more intimate contact with the technical frontier in communications. Their prime responsibility becomes that of monitoring the technical frontier to see what can be put to use in new operating systems.
新电话系统的技术和经济性也受到类似的考虑。在这里，精心制定的预测同样至关重要。一方面，通信设备通常具有显著的规模经济效应，因此大规模安装新设备是划算的。另一方面，未充分利用的设备可能会产生过高的资本成本。由于复杂系统的设计、生产和安装过程可能需要数年时间，而且在此期间，技术和业务需求都可能发生重大变化，因此情况可能会变得更加复杂，系统工程师可能会发现，选择最具吸引力的系统需要承担一定的风险。他们需要判断在任何时刻应利用新可能性的程度。将电话系统工程师分配到持续的组织职位和职能的主要结果是使他们与通信技术前沿保持更密切的联系。他们的主要职责变成了监控技术前沿，看看哪些可以应用到新的运营系统中。

Major technical advances may, of course, require many years between the original discovery or conception and the time when a practical design becomes feasible. The systems engineers keep in touch with the design and research work as it progresses throughout this interim period. They can exercise a valuable if indirect influence on the investigation simply by noticing weaknesses and errors that need correction for a project to be successful. It frequently happens that an extensive program of systematic measurements is called for before a new systems conception can be implemented, even when the basic conception is well established.
当然，重大的技术进步可能需要数年时间，从最初发现或构想到实际设计变得可行。系统工程师在整个过渡期间一直关注设计和研究工作的进展。他们可以通过发现需要纠正的弱点和错误，对调查产生有价值（尽管是间接的）影响，以确保项目成功。通常，在新系统概念可以被实施之前，即使基本概念已经确立，也需要进行广泛的系统测量计划。

In many cases, technology suggests two or more competitive approaches to the same problem. If a continuing systems engineering organization exists, there is generally no need to make a premature choice between them. Rather, both lines can be followed until it is clear that one is superior or, perhaps, that each has its particular niche in the marketplace. In telephony, for example, this was the case in the long-continued rivalry between microwave transmission systems and those based on transmissions by a coaxial cable.
在许多情况下，技术会为同一问题提供两种或更多的竞争性解决方案。如果存在一个持续的系统工程组织，通常就没有必要过早地在它们之间做出选择。相反，可以同时沿着两条路线进行，直到明确其中一个更优越，或者也许每个都在市场上有其特定的利基。例如，在电话领域，微波传输系统和基于同轴电缆传输的系统之间长期的竞争就是一个例子。

Applications to government and social problems

对政府和社会问题的应用

Thus far, systems engineering has been dealt with in relation to two principal fields of application. One field is industry, in which the prospects of a further expansion of systems engineering appear bright. Existing applications furnish many good models, and it seems likely that such extensions can take place without raising many unusual problems. The other major field of application has been in military and space systems, and this may have been the principal force in shaping the systems engineering field. The possibility of new applications of systems ideas in nonmilitary areas of government also has come under consideration in the realm of worldwide basic social and economic problems. On the other hand, systems engineering as practiced in other contexts does not automatically transfer easily to this new environment. General interest in the subject dates, however, only from the late 1960s, and the field is incompletely explored.
到目前为止，系统工程主要与两个主要应用领域相关。一个领域是工业，系统工程在其中的进一步扩展似乎前景光明。现有的应用提供了许多好的模型，似乎这种扩展可以在不引发许多不寻常问题的情况下进行。另一个主要应用领域是军事和太空系统，这可能是塑造系统工程领域的主要力量。系统思想在政府的非军事领域（特别是在全球基本社会和经济问题方面）的新应用也已经被考虑。然而，系统工程在其他背景中的实践并不能自动地轻松转移到这个新的环境中。然而，对这一主题的一般性兴趣直到20世纪60年代末才开始出现，而且这一领域尚未被充分探索。

In one experiment in the conversion of military systems engineering techniques, a U.S. state government contracted with four large aerospace companies (each of which had a substantial capability in systems engineering) to study the following four topics: (1) a statewide information-handling system, including a plan for implementation, (2) a program for the prevention and control of crime and delinquency, (3) a waste-management problem, and (4) a systems approach to basic transportation problems.
在一个将军事系统工程方法转换为其他用途的实验中，美国一个州政府与四家大型航空航天公司（每家公司都具备强大的系统工程能力）签订了合同，研究以下四个主题：（1）一个全州范围的信息处理系统，包括实施计划；（2）一个预防和控制犯罪及少年违法的计划；（3）一个废物管理问题；（4）一个对基本交通问题的系统方法。

None of the four studies led to proposals that seemed attractive enough to be implemented by the state, and, in this respect, the experiment was a disappointment, although in view of the wide scope of the problems attacked and the limited effort called for by the study contracts, the result is not surprising. On the other hand, the experiment was useful in advertising the possibilities of systems analysis as applied to civil problems and in illuminating difficulties that may be encountered in making such applications. The experiment stimulated interest in the civil uses of systems methods both inside and outside the United States.
这四项研究都没有提出足够吸引人的建议，供该州实施，从这个意义上说，这次实验令人失望。尽管考虑到所涉及问题的广泛范围以及研究合同所要求的有限努力，这一结果并不令人惊讶。另一方面，这一实验有助于宣传系统分析在民用问题中的可能性，并阐明在进行此类应用时可能遇到的困难。这一实验激发了美国国内外对系统方法民用的兴趣。

The potential applications of the systems approach to governmental activities are so numerous and so varied, in both the developed and developing worlds, that an exhaustive catalog would be out of the question. Nevertheless, it may be worthwhile to list a few of the most conspicuous possibilities. The most obvious class is made up of massive engineering attacks on very broad socioeconomic problems. These are the situations that seem to have most in common with the applications of systems methods in developing weapons. They include new transportation systems, comprehensive attacks on pollution, and radical reconstruction of urban areas. A concrete issue is the problem of power-plant location, an urgent question in many advanced and developing countries. The systems overtones are obvious. Generating stations are customarily interconnected so that a new plant has an impact on the availability of power over a considerable region, and, of course, the effects of thermal and atmospheric pollution from a given plant may also be widespread.
系统方法在政府活动中的潜在应用在发达国家和发展中国家都如此之多、如此多样化，以至于列出一个详尽的目录是不可能的。然而，列出一些最明显可能性可能是值得的。最明显的一类是对非常广泛的社会经济问题进行大规模的工程攻击。这些情况似乎与在发展武器中应用系统方法最为相似。它们包括新的交通系统、对污染的全面攻击以及城市地区的激进建设。一个具体问题是发电厂选址问题，这在许多先进国家和发展中国家都是一个紧迫的问题。系统的特征显而易见。发电站通常相互连接，因此一个新电厂会对相当大范围内的电力可用性产生影响，当然，一个电厂的热污染和大气污染的影响也可能是广泛的。

Other applications of systems analysis in the social sphere tend generally to be smaller and more easily treated. One class consists of the extension of military budgeting and methods of financial control to the nonmilitary world. Another application has been the use of systems analysis to support the technical aspect of foreign-aid programs. Other fields include the possible application of specific items of new technology in such areas as crime detection, fire fighting, and traffic control. Still other studies involve specific aspects of such subjects as housing and other types of building construction. Such studies attempt to be useful rather than broad or necessarily definitive for all time to come.
在社会领域，系统分析的其他应用通常较小且更容易处理。一类是将军事预算和财务控制方法扩展到非军事领域。另一种应用是使用系统分析来支持对外援助计划的技术方面。其他领域还包括在犯罪侦查、消防和交通管制等领域应用特定的新技术项目。还有一些研究涉及诸如住房和其他类型建筑施工等主题的特定方面。这些研究试图具有实用性，而不是广泛性或必然对未来所有时间都具有决定性。

The applications of systems analysis in civil government obviously still have far to go before their potentialities are exhausted. On the other hand, there are many reasons why these potentialities can be realized only slowly, if at all. Some of them are related to the inherent difficulty of the problems presented—the wide range of both technical and social considerations that may enter certain decisions, for example. Others reflect some of the common characteristics of governmental structure, the necessary bureaucratization of functions, for example, or the frequent problem of overlapping jurisdiction. Still other problems reflect the fact that existing systems analysts are trained preponderantly in the physical sciences and engineering and thus may not be well matched to the socioeconomic issues they are likely to confront, though most systems analysis groups working in socioeconomic questions try to balance their strength by adding appropriate missing skills. The most common problem, however, is probably simply the need to build up an adequate basis for mutual cooperation between systems analysts and government.
显然，系统分析在国务管理中的应用距离其潜力耗尽还有很长的路要走。另一方面，有许多原因使得这些潜力只能缓慢实现，甚至可能根本无法实现。其中一些与所提出问题的固有难度有关——例如，某些决策中可能涉及的技术和社会考虑因素的广泛范围。其他原因反映了一些政府结构的共同特征，例如职能的必要官僚化，或者管辖权重叠的常见问题。还有一些问题反映了这样一个事实：现有的系统分析师主要在物理科学和工程领域接受培训，因此可能并不适合他们可能面临的社会经济问题，尽管大多数从事社会经济问题研究的系统分析团队会通过增加适当的缺失技能来平衡自身实力。然而，最常见的问题可能仅仅是需要建立系统分析师与政府之间的充分合作基础。

As such an evolution proceeds, there may be an increasing tendency for individual systems analysts to become identified with the substantive area in which they work and to lose their special relations to systems analysis as a distinctive field. Thus, it may be the ultimate fate of systems analysis to disappear as a separate field and instead become an important constituent of the planning function required in many parts of modern society.
随着这种演变的进行，可能会有越来越多的系统分析师与他们所从事的实质性领域联系在一起，并失去与系统分析这一独特领域的特殊关系。因此，系统分析最终可能会作为一个独立领域消失，而成为现代社会许多部分所需的规划功能的一个重要组成部分。

Hendrik W. BodeWilliam K. Holstein

何为一般系统？

原创朱浩楠遇见数学 2025 年 05 月 17 日 19:01 河南

本讲关注下列问题:

为什么说数学模型一旦成功了就立刻过时了？
为什么不同领域会独立涌现出相似的数学模式？
有哪些看起来不同，但其实紧密联系在一起的一般系统？

什么样的数学模型是成功的呢？无疑是已经成功地解决了问题并经过了长期检验的。
什么样的数学模型是过时的呢？恰恰就是那些已经成功解决了问题并经过长期检验的。
什么样的数学模型永不过时呢？反而是那些无法成功解决问题，但与其相似的模式却从多个相似领域的不同问题中独立涌现出来的模型。
什么样的数学模型毫无价值呢？恰恰是那些一遇到问题就被人想着拿来套用的模型。

我们首先来解释上面这四句看起来互相矛盾但其实互相支撑的论断。

首先，如果一个数学模型是为了解决某个领域的某个具体问题而被构建出来，已经在所需的精度和所需的尺度上解决了该问题，并通过了现实检验，那么这个模型无疑挖掘出了该问题在该尺度下的隐含规律。自此以后，人们再遇到同一个问题，便可以直接调用所挖掘出来的规律，没有必要重新检验 (未经过长期检验的模型不在此列)。

换句话说，如果模型成功地解决了问题，那么日后调用的，就该是模型的结果，而非模型本身。
此时如果遇到了一个不同于原来问题的新问题 —— 它有可能还是关于同一领域，但是所需的解决精度与原来的模型结果，更不能照搬原来的模型，因为该模型是针对原问题的特异性而构建的，它的有效性扎根于它的特异性当中 —— 换句话说，如果它没有针对原问题的特异性，那么它也就没有了相应的有效性；如果它对于原问题和新问题都有效，那么这两个问题对于这个模型而言就是同一个问题。

既然新问题具有新的特异性，而原模型的有效性依赖于原问题的特异性，那么原模型就无法被原封不动地套用来解决新问题。于是原模型对于新问题而言就是过时的了 —— 至少需要重新检验它对于新问题的有效性，往往需要针对新问题的特异性进行调整、修订和改编，甚至完全推翻从零开始重新构建模型。

如果一个模型虽然无法解决问题，或者只能粗糙地解决问题，但是其数学模式或关系结构，却多次独立地在各个不同领域的不同问题中涌现出来，这类的模型就永不过时 —— 它似乎已经彰显了自然和社会的某个深层次普遍规律，当我们解决某个领域的具体问题时，需要不厌其烦地从它身上汲取营养、借助和参考它的结构形式，再经过必要的调整和修订，建立子代模型。

这样的模型我们称为一般系统。

可以作为一般系统的模型很多，例如我们前面反复提到的人口模型，或者说逻辑斯蒂方程
$\lambda \cdot p (t) \cdot \left (1 - \frac {p (t)}{M}\right) \quad (12.1)$
它的解曲线是 S 形曲线，这种曲线不仅在人口问题中很常见，在菌落生长、动植物生长、心理学、经济学、社会学中都能反复见到。它的基本模式是：在资源有限的情况下，当前时刻的增长量不仅和当前时刻的规模成正比，也受当前还能利用的剩余资源存量制约；换句话说，就是相对增长率和直到过了某个阶段之后你的水平增长便会减缓，直到遇到难以逾越的瓶颈，此时如果没有特别地顿悟或者外界的刺激，便会一直趋近于这个瓶颈而无法超越 —— 这便是因为你的心智水平的余量已经所剩不多了，无法继续支撑学业水平的相对增长率持续稳定的发展。

人口模型其实解决不了人口问题，任何国家的人口问题都不会寄希望于调用一个简单的人口模型就找到解决方案。人口问题需要更加精细化的模型，例如考虑年龄结构、移民情况和国内各地区之间的人口迁徙、城市化进程、经济发展周期甚至社会张力等等。但是人口模型，或者说逻辑斯蒂方程 (12.1), 作为一般系统，却成为了我们理解资源受限环境这一广泛场景下的系统增长规律的底层逻辑。

什么模型毫无价值呢？可以是任何的模型，甚至是一般系统层面的模型。这是否矛盾呢？其实并不矛盾 —— 别忘了，我们前面反复讨论过的: “人” 是模型最重要的参数。所以这里说的毫无价值，主要是 “人” 做了毫无价值的事：一遇到问题就机械地套用模型。为什么这毫无价值呢？这个价值依然是针对 “人” 而言：我只要调用任何一个靠谱的 AI, 就能以更高效和准确的方式去完成对于已有模型的机械套用，为什么还要耗费宝贵的人的创造力资源呢？！

用。学习数学建模一以贯之的要点，如果说只留一个的话，就是下面这条:

永远不要机械地套用模型，无论它看起来多么合理和强大。

那么人是否会被 AI 所替代呢？恰恰是上面的讨论告诉我们：不可能。原因是逻辑上的，而非实证上的，虽然实证上已经有浩如烟海的例子，但是总有一些 “技术宗教” 的信徒以 “将来这些例子就能够用 AI 解决了，别忘了 AI 是发展的” 来诡辩。所以我们从逻辑上下一道判定，它是最终宣判。

道理很简单，是本体论形式的，就是我们作为 “人”, 我们能感受到的问题，是 “人” 的问题，机器或 AI 可以想象 “人” 所面临的问题，但它永远无法感同身受地理解这个问题，也无法预测将来会出现的问题。除非这个机器或 AI 能够具有以下属性：碳基、有性繁殖、具有与人同频的基因遗传和变异模式、涌现出人类同频的文化和艺术、放弃通过信息复制和工业制造的手段来更新自我、通过有机物进食和补充能量、具有和人一样的受骗和资源利用能力…… 一句话说，就是一切能区分人和机器与 AI 的方面。

如果一个机器或 AI 具备了上述属性，也就是我们从任何方面 (包括基因层面和更加微观的层面) 都无法区分它是机器和 AI 还是人，我们一般就把它称为 “人” 了。

所以，除非机器或 AI 演化为和人等同，否则就一定存在某个 “人” 的问题，是它所无法解决的。我们
“请一个能够代替人的 AI 找出它无法代替人的证据”
啊哈！无论它是否能够找到证据，它都会自相矛盾 —— 仅凭借这句话作为符号的存在就足够了！

回到一般系统，为什么不同领域会独立涌现出相似的数学模式呢？这看起来非常不合理，因为这些领域往往如此独立，以至于它们的研究者互相之间可能都并不知道对方的存在；如果这些领域之中有可以互相交流的数学模式，为什么这些领域没有合并为一个领域呢？

再一次地，回到我们的基本论调：一切模型中，最重要的参数是 “人”。对于具体模型而言，这个 “人” 更多地指向 “具体的人”, 就是模型的研究者自身；对于一般系统而言，这个 “人”, 则更多地指向 “人类共同体” 这个抽象的、平均的 “人”—— 这种人类共同体的存在的保证，便是 20 世纪长足发展的基因和遗传理论 —— 我和你可能并不相识，但是我们的基因却紧密相连，这决定了我们都有一双眼睛、两支耳朵、一个鼻子和两条腿。

即便是不同的领域，也都是基于现象在研究，这个现象可能来源自现实世界、数学世界或理念世界，哪怕是理论本身，也是一个现象。只要是针对现象的研究和思考，并尝试用定量的方式描述其中变量、参数、常量之间的等量关系、序关系、统计关联等等，就必须用到数学语言 —— 这是因为数学语言的定义便是如此，如果你发现了一个新的办法描述这些关系，那么这个新方法便立刻变成了数学语言的新的成分 —— 这里的 “数学语言” 被视为一种即时可译且符合逻辑语法的编码系统，换个说法，就是数学模型。

我们经常说学科融合、跨学科，“融合” 与 “跨” 的桥梁和媒介是什么呢？就是数学模型。数学模型是将一个领域中的现象、发现、传统和结果，定量、符合逻辑且不易混淆和误解地传播的几乎最有效的途径。

从这个意义上来看，既然不同领域都是 “人类能做的研究”, 且 “人类具有相近的数理文化和基因结构”, 那么这些领域至少就存在互相理解、交流和解释的可能，一般系统的存在性便蕴于这种可能性之中。

另一个角度的解释来自于对世界的理解。我们总是觉得简单是对于复杂的简化，这个理解也对也不对。如果是站在 “人的功能性理解” 的角度，这总是对的，因为我们之所以称一个问题是复杂的，就是因为它难于理解；我们之所以称一个问题是简单的，就是因为它便于理解；是理解的难易程度，定义了一个事物是简单还是复杂，而非其具体占用了多少篇幅 —— 我将字符 “1” 粘贴复制 1 千万遍，体量很大，但依然简单，因为它容易理解；薛定谔方程全部写出来用不了 15 个字符 (见式 12.2), 但它依然很复杂，因为不易理解。
$\frac {\hbar^{2}}{2 \mu} \nabla^{2} \Psi + U \Psi = E \Psi \quad (12.2)$

所以如果是站在 “人的功能性理解” 的角度，那么 “简单是对于复杂的简化” 几乎就是同义转述，并没有承载什么信息。

但是如果我们跳出 “人的功能性理解”, 而去尊崇科学审美的指引，朝向永恒不朽的那个 “第一性原理”—— 所谓的 “第一性原理”, 由亚里士多德提出，认为每个系统中存在一个最基本的、不依赖于类比或经验的结构，构成系统中其它所有知识和推论的基础 —— 那么我们必然将会付出不懈的努力，去从能体会的 “系统源头”。这份努力的存在，使得 “系统源头” 在认识论层面上具备比复杂的现象更高层面的地位。从这个意义来说，复杂是简单的投影 —— 系统中的对象在第一性原理的规划下演化出了各种复杂现象，这个第一性原理一定是简洁且易于理解的，否则从审美追求上就存在等待我们继续挖掘的更根本的 “第一性原理”。

我将这种层面的追求称为 “人的意义性理解”。我们通过探求各个系统的 “第一性原理” 来理解该系统存在的必然性和意义，同时也因为这种追求而达成了对不同系统中隐秘的链接的探查。这种隐秘的链接颇具哲学意味，很像我们中国的 “道” 和 “一”, 但是它们太难捉摸以至于难以描述，也很难在不同人之间交流和产生共识。如果我们寻求那种可用语言描述和交流的、最接近第一性原理的内容，那便是我们本节所说的 “一般系统” 了 —— 放到中国古典哲学中，这个一般系统可以认为是《易经》, 人们一方面向下通过它来解决问题，另一方面也通过它向上理解 “道” 和 “一”。王阳明在他的心学中也强调了一般系统的重要性，他认为 “知行合一”, 即我们做的一切事情，都蕴含着 “道” 和 “一” 的一般系统，我们做事情的过程，就是理解 “道” 和 “一” 的过程，也是在我们心中构建连接它们和世界以及自我认知三者之间的一般系统。

那么在数学建模中都有哪些常见的一般系统呢？基于我自己的认知水平，觉得至少有一个，它能够将众多问题联系在一起，它就是 “叠加与扩散”。它能够联系但不限于如下这些问题:
热扩散、欧姆定律、牛顿第二定律、动量定理、万有引力、测量与度量、广义相对论、曲率、人口模型、城市化进程、生态循环、熵、军备竞赛、博弈论、编码、最大熵原理、场和复数、最优作用原理，等等

受限于本书的目的和篇幅，我们无意于在此处给出这些问题的数学形式及其推导，我们仅在下面尝试将它们用 “叠加与扩散” 联系起来。

热扩散是我们生活中常见的现象，一杯开水放到室内渐渐降温，如果不考虑在此过程中水的蒸发和表面空气流动的不稳定性，其近似的降温规律符合

温度变化量 ∝ 水温和室温之差 (12.3)

其中 ∝ 代表 “正比于”。

类似的事情还发生在欧姆定律当中，这是任何初中生都要学习的基本定律，说的是

电流 ∝ 两点间电势之差 (12.4)

牛顿第二定律的内容也与此类似，说的是

物体加速度 ∝ 物体所受的力 (12.5)

通过动量定理的加工，它又可变为如下形式

速度变化 ∝ 力在时间上的积累 (即动量) (12.6)

万有引力也难逃此模式，具体表现为

引力 ∝ 质距比的平方 (12.7)

其中质距比指 “质量和距离之比”。

中对刻度单位 (或测量工具) 的选取，是随着测量值和真实值的差 (即残差) 而改变的 —— 首先用

测量单位 ∝ 测量残差 (12.8)

广义相对论也难逃此规律，虽然这个名词让好多人望而却步，但其实可以用生活中常见之物去理解它 —— 想象在一个篮球的最上端放着一个橘子，一般情况下橘子的重量尚不足以使得篮球产生明显形变，所以橘子处于不稳定状态，稍微一晃动就会从篮球上掉下来；现在假设这个 “顶着橘子的篮球”, 被安置在加速度为 1000 个重力常数的火箭上 (假设橘子和篮球都可以承受这么大的加速度而不损坏), 这么大的加速度使得橘子施加给篮球的压力足以明显改变篮球的形状 —— 在篮球表面压出一个 “圆坑”, 橘子则处于这个圆坑之中。现在这个橘子就不再处于不稳定位置，而是处于一种局部稳定的状态 —— 你想要让橘子掉落，首先需要让它脱离这个 “坑”。在这个过程中，我们可以提炼出如下规律
篮球形变 ∝ 系统加速度 (12.9)

说到广义相对论，就不能不再提一句曲率 (即衡量事物弯曲程度的一种数学度量), 毕竟前者就是后者的物理表达。一般的数学上的曲率定义需要用到微分几何，但针对于一元函数的图象而言并不需要这样复杂，因为它可以被描述在二维平面当中，具体而言表达式为
$\frac {|f''(x)|}{\left (1 + \left (f'(x)\right)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}} \quad (12.10)$

其中 (f’(x)) 和 (f’'(x)) 分别代表函数 (f (x)) 的一阶导数和二阶导数。看起来复杂的分母是为了抵消曲
曲率 ∝ 二阶导数 (12.11)

没错，这正是式 (12.9) 的同义翻译。

响边际量造成状态的逐步改变，整个过程是动态的和自适应的。

如果这个变化反映的是 “剩余资源对增长的限制”, 便得到了逻辑斯蒂模型，即

人口增长量 ∝ 剩余资源 × 当前人口数 (12.12)

如果我们将剩余资源和当前人口数的乘积，视为 “当前人口所能接触到的资源总机会”—— 想象一下疫情感染模型中，新增感染人数是和 “已感染者和未感染者之积” 成正比就清楚了，这里以感染者和未感染者接触才能有一定几率引起新增感染，所以这个乘积自然就代表了潜在的可能诱导出感染的机会总和 —— 那么式 (12.12) 又可以表述为
人口增长量 ∝ 当前人口利用剩余资源的总机会 (12.13)

这一点放到城市化进程中依然有效，这里我们用城市常住人口总数来度量城市化率。一方面城市人数越多，所能吸引的新增人数越多；另一方面打算新进入城市的人群又需要考虑城市人口过剩所造成的工作岗位紧缺的情况，即考虑剩余资源；所以城市化速度就自然地和当前城市人口与剩余资源的乘积，也就是城市人口所能调用的资源的总机会成正比，得到类似于式 12.13 的关系。

在生态模型中亦然如此，例如：在竞争关系模型中，A 物种的数量一方面受到本种群数量的正向激励，另一方面也受到 B 物种数量对 A 物种数量的竞争抑制；在捕食关系模型中，被捕食一方的种群数量一方面受到本种群数量的正向激励，另一方面也受到对方种群的捕食抑制，这些都可以视为边际量正比于状态量的过程中，其比例系数受到外界影响而造成的叠加变化。具体而言即为

竞争关系：己方种群增长量 ∝ 对方种群对己方资源的争夺限制 × 己方种群当前数量 (12.14)

捕食关系：己方种群增长量 ∝ 对方种群对己方的捕食抑制 × 己方种群当前数量 (12.15)

再一次地，式 (12.14) 和式 (12.15) 右侧乘积可被视为己方种群从对方种群的压制中 (竞争或捕食) 与资源发生交互的总机会。事情再一次回到了 “边际量正比于状态量” 的模式。

于热流，换句话说，如果要用最快的方式改变熵，那么热扩散就是最佳的方式。这一点我在《为什
扩散效果的最佳呈现形式，而热扩散则是熵实现最快变化的方式，即
熵的梯度 ∝ 热扩散 (12.16)

当然还有许许多多的现象和结构可以归结到 “边际量正比于状态量” 的模式，这里我们无意于给出百科全书式的整理，但我们在下面将展示一种推广方式，它将上面的模式粘合为了博弈的形态。

一个典型的例子便是军备竞赛模型，其中 A 国的军费增长量受两个因素影响：一方面，A 国受到 B 国当前军费开销的威慑，使得 A 国的军费增长量有正比于 B 国当前军费开销的趋势；另一方面，A 国的军费不可能无限制增长，也受到本国剩余资源的约束。即

A 国军费边际量 ∝ B 国军费开销的状态量 (12.17)

那么如何反映 A 国军费边际量同时受二者影响时的变化呢？考虑到这两种方式在时空局部上的相关性不显著 (因为敌对双方没有直接大规模贸易和紧密交流), 可以假设两种影响近似无关，这样一来，就可以采用 “叠加原理” 将式 (12.17) 和式 (12.18) 粘连起来，具体即
A 国军费边际量 ∝ α × B 国军费开销的状态量 + β × A 国剩余资源的存有量 (12.19)
此时并不能简单地视为 “边际量正比于状态量” 的模式重复，而是多个互不相关或近似互不相关的此类模式的叠加效果。同理也有
B 国军费边际量 ∝ λ × A 国军费开销的状态量 + μ × B 国剩余资源的存有量 (12.20)
式 (12.19) 和式 (12.20) 将 A、B 两国军费开支和它们各自的剩余资源与所受威慑联系起来，其中存在明显的张力 —— 即便某国所受威慑达到很高的程度，其军费开支也不可能永远以同样的增速一直提升下去。这种张力便预示了该系统已经成为一个博弈系统，类似的模式在许多动态博弈场景中也屡见不鲜。下面我们例举一个和一般的博弈系统不同的场景，并说明它其实也是类似的问题，那就是最优编码。

26 个不同的 0, 1 字符串所替代 (不考虑大小写和标点)。为了能够解码，需要一些最基本的要求，唯一可译性便是其中最为基础的一条，即不允许出现编码后的段落有两种及以上的解码方式。需要注意的是，唯一可译性并不等价于 “不同的英文字母对应于不同的 0, 1 字符串” 的这种 1-1 对应关系。例如：如果我们将 A 编码为 “01010”, 将 B 编码为 “010”, 将 C 编码为 “10 ”, 即便这里 A, B, C 对应不同的编码，我们也无法达到唯一可译性，因为在解码时，“01010 ” 既可解码为字母 “A”, 也可解码为字母段 “B C”。

除了唯一可译性，在移动通信时代之后，对于编码还有一条自然的要求，就是 “即时性”: 顾名思义，即随着 0、1 字符串的发送，就能够即时译码，而不需要等到所有文段都传输结束后再解码。可以给出简单的例子说明即时性和唯一可译性之间的区别，想象一下中文拼音串 “liminguo”, 当这段拼音串传输结束后，从发音上是唯一可译的，断句为 “li/min/guo”, 这是因为中文中并没有以单独韵母 “min” 开头的词汇。但在传输过程中，当收到 “li m” 时，接收方无法知道是应当断句为 “li/min/” 还是 “min” 未传输结束，毕竟名字叫 “李明国” 和 “李敏国” 的人都大有人在。

很明显，即时码一定必然是唯一可译的，而唯一可译码一定是 1-1 对应的。换句话说，从性质的包含性来说，有如下关系
1-1 对应编码
唯一可译编码
即时编码
图 12.1 三种编码之间的包含关系

最优编码问题是：考虑到不同英文字母在整个英文语料环境中的出现频率不同，如何能够找到一种即时编码，使得其码字长度的期望值 (即各个字母的编码长度乘以各自使用频率的加权和，也就是单个字母的平均编码长度) 尽可能的小。

这个问题早在香农的信息论原始论文中就予以解决了，当时香农采用的是堆叠模型，但是后来人们找到了其它的视角看待这个问题，后者在形式上更为简洁，也便于理解到更加深刻的水平 —— 那就是将最优编码问题，视为 “单位区间 [0,1] 中的空间争夺博弈”。

为了完成这种转化，首先需要将字母的编码对应到数轴上 [0,1] 内的某个区间上，假设字母 A 的编码为 0,1 字符串 “a₁a₂…aₕ”, 其中 aᵢ为 0 或 1, l₁为字符串长度，那么就将其对应到二进制小数区间
$\left [0.a_{1} a_{2}\cdots a_{l_{1}}, 0.a_{1} a_{2}\cdots a_{l_{1}} + 2^{-l_{1}}\right) \quad (12.21)$

有的读者可能不太容易想象二进制小数，但是大家对十进制小数很熟悉，例如: 0.35, 意思其实是 0.35 = 3 × 10⁻¹ + 5 × 10⁻², 那么二进制小数是类似的，即
$0.a_{1} a_{2}\cdots a_{l_{1}} = a_{1} × 2^{-1} + a_{2} × 2^{-2} + \cdots + a_{l_{1}} × 2^{-l_{1}} \quad (12.22)$

这样一来就不难理解区间 (12.21) 右端点 (取不到) 的含义了：在二进制小数 0.a₁a₂…aₗ₁的末位 (即小数点后第 l₁位) 加 1 (加 1 后如有需要则前面数位需进位)。

对于其余的字母也用类似的办法对应到相应的左闭右开区间上。很显然，所有这些区间都位于 [0,1]
即时性，就不能发生 “某个码字的编码作为另一个码字编码的前缀” 这种情况 (想象一下刚才的 “
不同字母对应的区间不能有交集 (12.23)

实际上，只要满足要求 (12.23), 则相应的二进制编码就一定是即时可译的。但是这样只能满足即时性，最优编码的本质难点在于 “最优性”。假设第 i 个英文字母 (按照通常的 A, B, C, D,… 的顺序排列，注意不区分大小写) 的编码长度为 lᵢ, i = 1,2,…,26, 则按照对应关系，lᵢ即为第 i 个字母对应区间的小数点后数位的位数，或称小数的 “深度” 或 “精度”。

可想而知，为了达到我们想要的 “平均码字长度尽可能短” 的效果，就需要让越常用的字母的编码深度尽可能浅 (即越常用的字母对应的码字长度越短), 但是还需要保持不同码字对应的区间不相交，以维持 “即时性” 的要求。

读者可能已经发现了，这两个要求之间存在着矛盾张力：编码深度越浅的字母所对应的区间长度越大 (实际上由式 12.21 可知，编码深度为 lᵢ的字母对应的区间长度为 2⁻ˡⁱ)。此时如果仅考虑让最常用的字母的编码深度越浅，则该字母对应的区间将最多占用长度为 2⁻¹ = 0.5 的区间，这样一来后面的字母就只能依次占据 1/4, 1/8, 1/16, 一直到 2⁻²⁶的区间长度，此时对应的区间深度为 26, 即编码最不常用的字母需要占用 26 个 0,1 字符，这显然并不是最优的编码方式。

用拟人的方式描述这个张力可能会更加形象：不同使用频率的字母之间存在着一种潜在的针对编码深度的博弈，大家都希望占据更浅的编码深度以提升传输效率，但是每个字母在这场博弈中的 “话语权” 大小不同，这个话语权由它们在全世界英文字符中的占有频率所决定；虽然占有频率最高的字母的话语权最大，但是它也要顾虑其它所有字母的感受，否则就会导致整个系统没法达到最优状态。

的数学公式来掩盖其中的思想，直观来说，就是初步按照话语权序关系顺序排定一个初始的编码深度，然后对这个编码深度进行微扰，看看其周围是否有新的编码深度分布能够降低整体的编码深度的期望值，如果有的话就更新为那个新的编码方式，以此类推。有经验的读者可能已经发现了，这其实就是对下面的最优编码问题进行梯度下降法求解。
$\begin {aligned} & \min \sum_{i=1}^{26} p_{i} l_{i} \\ & \text {s.t.} \sum_{i=1}^{26} 2^{-l_{i}} \leq 1 \end {aligned}$
其中 pᵢ 为第 i 个字母的出现频率，i = 1,2,…,26。

在这个逐步调整的过程中，每一次调整的幅度，和目标函数距离最优解的差距成正比，这将使得编码最优稳定在最优编码的位置。回到刚才的故事里，相当于话语权不同的各个字母争吵编码深度的过程中，大家争吵的激烈程度，和大家所得权益距离自身话语权所赋予的权力之间的差距成正比，即
争吵程度 (或调整幅度) ∝ | 权力 - 权益 | (12.25)

这依然没有脱离前述的 “边际量正比于状态量” 的扩散模式。不仅如此，数学上可以证明，所得最优编码的下界，就是相应的字母使用频率的分布所对应的信息熵。这再一次将扩散和熵联系在一起，印证了二者的对偶关系。

那么这又和之前章节中我们提到的最大熵原理有什么关系呢？其实最大熵原理和编码，二者互为逆问题：假设某个外星人来到地球上，学习英语来和人类交流，它当然无权要求改变我们人类已有的编码方式，只能在已知的编码方式中，学习如何更加高效地表达信息。这时候就相当于外星人已知编码深度 (因为已知编码方式), 需要调整自己的表达习惯，使得其中各个字母的出现频率可以使得自身的表达效率尽可能高。那么对于这位外星人来说，各个字母的最佳出现频率分别是多少呢？这里编码深度 lᵢ变为了已知，但字母频率 pᵢ则变为了未知数。

这个反问题中，除了已知量 pᵢ和未知量 lᵢ的角色互换以外，其数学形式结构和式 (12.24) 并无不同，所以最终的解都必定符合不等式
$\sum_{i=1}^{26} p_{i} \log_{2} \frac {1}{p_{i}} \leq \sum_{i=1}^{26} p_{i} l_{i} \quad (12.26)$
细心的读者可能已经发现了：对于外星人而言，TA 所要做的，其实就是确定分布 {pᵢ}, 使得这个分布对应的信息熵尽可能得大！故此我们证明了
最大熵原理 = 最优编码的反问题 (12.27)
那么这又和场和复数有什么关系呢？

首先，我们在前面已经指出了：熵的梯度场即为热扩散场。所以我们认为一个扩散场是某种潜在的熵达到最速变化时的边际场。而场论中著名的亥姆霍茨场分解定理告诉我们，一般场可以分解为无旋场和无散场的和，局部上看，这就是复数 z 的指数表达
$e^{i\theta} \quad (12.28)$
其中 | z | 为其模长，θ 为其俯角，i 为虚数单位。局部上，一个复数乘在另一个复数上的效果，从几何上看，就是做了拉伸 (这是 “无旋” 的操作) 和旋转 (这是 “无散” 的处理)。

谈到了场，就自然地触及到了最优作用原理 —— 物理中广泛使用的这个观念告诉我们，物理世界任何法则，都是某个相空间中无限对称模式中较为稳定的一个。与其说是最优作用原理约束和规范了物理世界的运作模式，不如说人们通过最优作用原理，在通过现象中所归纳的法则的基础上，去窥伺那些隐藏在自然背后的一般结构。

读者应该都了解柏拉图《理想国》中的洞穴隐喻：对于自然规律来说，我们未尝不是洞穴中迷路的观光客，我们看到眼前闪烁的那些现象之光，将它们依据我们的先天经验和生理结构，想象为不同的模式，期盼着这就是最终的真相；但当我们绕过拐角，却发现我们所看到的很可能只是另一处火光投射的光影；在这个隐喻里，我们与其说通过火光及其投影发现了自然规律，不如说我们只是在一步步了解自己。所以，请允许我在下面写下本书中最重要的一个公式，如果读者已经忘记本书中所有的内容，至少请记得这个公式
人对自身了解的增长 ∝ 我们所感知到的现象之光 (12.29)

卡尔・萨根在《宇宙》一书中也表达了一种类似的结构，看上去和上面这句话矛盾，它是
人对自身了解的增长 ∝ 我们离开自己熟悉的地方多远 (12.30)
当我们乘船远离自己的大陆，坐火箭远离自己的星球，坐太空飞船远离自己的星系，再回望我们的家园时，我们才会真正抛开那些无关紧要的争端，重新注视我们作为文明的传承者，所拥有的不同于宇宙中其它尘埃的那些特质。

在这些特质中，我认为至少有如下四点，它们构成了我们的文明赖以传承的要素:
a. 抽象继承
b. 观念对话
c. 隐喻推理
d. 具体实践

首先，任何文明的成果都不可能被具体继承，只可能被抽象继承 —— 哪怕是再具体的教科书、文献甚至纪录片，也无法完全展现某个知识被发现时，参与者的所有内心妥协、相互关系、社会背景和潜在思考 —— 我们只能像盲人摸象一样，靠现有的证据来推测和归纳从前的人们在发展文明的过程中都经历了什么、又在考虑些什么。

这一点是人类文明的弱势，但也是人类文明的优势。这就像基因的传承，虽然基本的模式被保留下来，但是蛋白质的具体表达需要与环境交互的信息，同时在这种交互过程中，允许变异和选择的发生 —— 没错，这正是道金斯在《自私的基因》中所指的 “MEME”: 即在 “复制” 和 “变异” 这对张力之中的那个承载信息的最小平衡单位。

正因为知识只能抽象继承，所以我们每个人在文明的信息空间里都类似于柏拉图洞穴隐喻中的迷失游客，任凭我们任何人也无法获得我们所需要的充分信息 —— 这看起来危机四伏，但是却带来了人类对一件事情的重要需求，那就是: “观念的交流”。

每个人持有知识在某个角度上理解的碎片，当我们坐在一起将我们所了解的汇总起来，我们所形成的群体就共享了对知识的更完善和更多维度的理解。听起来这再美好不过了，但请允许我给你泼一盆冷水：不要妄想这种交流是透彻的，就像不要企图拿起河流中的石头而不打扰水流一样 —— 任何的交流，一定都存在着信息的 “测不准效应”—— 我们一旦明白了对方在说什么，就一定无法体会对方想说而没说的另一方面；这被拉康称为 “缺席的在场”, 意指我们所真正想表达的，不仅包括我们已经说出的内容，还包括那些未被说出的可能性。例如，当我说 “我想吃苹果” 时，我同时隐含了 “我不想吃别的水果”, 但是这两句话不可能同时从我口中说出来。任何语言 —— 包括绘画和音乐语言，以及数学和计算机语言；想象一下计算机中的变量吧，你一旦声明了它的类型，它就立即失去了潜在的其他可能的身份了 —— 都存在这种 “测不准” 现象。我们生在不确定性此起彼伏的混沌粥里，享用着它的蜜汁，却也要忍受炙热蒸汽的熏烤。

所以我们的对话只能是观念上的，这里所谓的观念指的是粗糙的、含有不确定性的、只能传递大致方向的信息。

观念对话导致我们本质上无法实现真正的 “感同身受”，就像我们无法实现真正的 “自食其力” 一样 —— 你只要用嘴在吃人类认为可以被作为食物的东西，就是在调用人类文明关于生存的共识，无论你是否有意识和乐意；而你又无法自身脱离 “人类” 这个属性，所以你总无法实现真正的 “自食其力”—— 再一次地，这是一种本体论证明。

这好像使得我们永久地处于他人的胁迫之中，这没有错，所谓 “他人即地狱”，正是这个意思。但是在这种胁迫之中我们得以发展出另一项非凡的能力：隐喻推理。

同一、同源、类比和隐喻是科恩在《自然科学与社会科学的互动》一书中给出的关联谱系的四个程度。其中同一位于谱系的一端，代表概念、内容和其中逻辑结构的完全 1-1 对应，而隐喻则处于谱系的另一端，代表仅通过某一两个特征的相似性就将两个完全不同领域的事物联系起来。例如，如果你听到有人说 “人生就像一盒巧克力，你永远不知道下一颗是什么味道”，你能理解其中的隐喻逻辑；但如果有人说 “物理学的定律就像天气，时晴时雨”，你会是什么感觉，一定觉得这个人是在说胡话，要么就是在做艺术表达。

换句话说，隐喻推理是不可靠的。

这没有错，但是如果我们回看科学史、技术史甚至整个人类文明的历史，就会发现，许多伟大的发现，往往起源自隐喻推理。例如：意大利著名物理学家、圈量子引力理论的开创者之一卡洛・罗韦利，就在他的《现实不似你所见》中将量子引力学中的 “时空箱” 比喻为 “寿司”，里面 “爬” 满了被隐喻为 “爱因斯坦的软体动物” 的时空引力场。罗韦利甚至在书中明确表明他对于艺术和文学对科学强大启发作用的支持态度：
伟大的科学与伟大的诗歌都充满想象力，甚至最终会有同样的洞见。我们（意大利）的文化中科学与诗歌互相分离，这很愚蠢，它们都是打开我们的视野、让我们看到世界复杂与优美的工具。

甚至追溯到万有引力的发现、开普勒三大定律的发现、从燃素说到氧化还原理论的发展，都可以发现隐喻推理的痕迹。不失一般性地说，在科学革命和范式改革的阶段，如果没有隐喻推理所带来的那些基于天马行空的想象力，跳出既有逻辑甚至因果体系的 “试错”，就不会有新的备择理论产生。

但是科学研究和文明发展毕竟不是一群人自说自话，越是大胆的假设往往越需要仔细地求证。“具体实践” 便成了掀开胡说之人的遮羞布、帮助创造之人确立学说的 “筛选器”。正因这个严苛的筛选器的存在，人类文明的那些宝贵传统才得以稳定存续，同时那些颠覆传统的改革才不会将历史打翻，而是通过谨慎的渐进方式融入已有的历史中，孵化成新的传统，完成创新和传统之间的双向选择和渐变传承。

作为本书的最后，我希望做回教师的身份，给本书的读者一些建议；这些建议我曾经郑重地叮嘱过：

科学是传统，学科是工具；重视传统，善用工具，但不要被工具约束了对传统的理解。
学习数学建模时，重要的不是记住公式，而是理解公式背后的问题意识与建模时所用的技巧。
时刻记得：人是一切数学模型中最重要的参数，我们对科学的理解，源自我们对自身的理解。这种理解只要存在，就能交流。但不同领域之间的观念交流要注意尺度的吻合，夏虫不语冰，不要在不合适的场合谈论不对等的话题。