AtCoder AT_abc406_c [ABC406C] ~

前言

除了 A 题，唯一一道一遍过的题。

题目大意

我们定义满足以下所有条件的一个长度为 $N$ 的序列 $A=(A_1,A_2,\dots ,A_N)$ 为波浪序列：

• $N\ge 4$（其实满足后面就必须满足这个条件）。
• $A_1\le A_2$（小心不要忘了这个条件）。
• 有且只有一个峰。
• 有且只有一个谷。

现在有个长度为 $N$ 的序列 $P$，求有多少个连续的子段是波浪序列。

思路

我们看一下条件——有且只有一个峰、一个谷。但是，整个序列里面会有许多峰、许多谷。然后，我们会从中选取一个峰、一个谷和一些其他类别的元素构成波浪序列。显然，我们要记下所有峰、所有谷的位置。默认按从小到大顺序记。

接下来，我们枚举选取子段的右端点，从第一个既包含峰又包含谷的位置开始，一直枚举到 $N$。考虑左端点可能的取值范围。前面通过从小到大的顺序暗示了这里的重要算法——二分。二分什么呢？左端点下边界？上边界？都可以。因为它是上下边界都与峰谷的位置有关，而确定上边界的峰一定“紧挨着”确定下边界的峰（指的是中间不会有别的峰），谷也是同理。式子自己想想吧！不会可以看代码。

代码

请点击 这里 查看 AC 记录。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;int n, p[300010];
int c1, v1[300010]; // peak
int c2, v2[300010]; // valley
int s1[300010];
int s2[300010];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> p[i];for (int i = 2; i < n; i++){s1[i] = s1[i - 1];if (p[i - 1] < p[i] && p[i] > p[i + 1])v1[++c1] = i, s1[i]++;s2[i] = s2[i - 1];if (p[i - 1] > p[i] && p[i] < p[i + 1])v2[++c2] = i, s2[i]++;}if (!c1 || !c2){cout << "0" << endl;return 0;}long long ans = 0;for (int i = max(v1[1], v2[1]) + 1; i <= n; i++){int p1 = lower_bound(v1 + 1, v1 + c1 + 1, i) - v1 - 1;int p2 = lower_bound(v2 + 1, v2 + c2 + 1, i) - v2 - 1;
//		if (p1 < 0 || p2 < 0) p1 = p2 = 0;
//		cout << i << " " << p1 << " " << p2 << ": " << endl;
//		cout << " - " << v1[p1] << " " << v2[p2] << endl;
//		cout << " - " << v1[p1 - 1] << " " << v2[p2 - 1] << endl;if (v1[p1] > v2[p2]) continue;int vmx = max(v1[p1 - 1], v2[p2 - 1]) - 1;int vmn = min(v1[p1], v2[p2]) - 1;vmx = max(vmx, 0);if (i - vmx < 4) continue;if (i - vmn + 1 < 4) vmn = i - 3;ans += vmn - vmx;
//		cout << i << " " << vmx << " " << vmn << endl;}cout << ans << endl;return 0;
}

总结

时间复杂度 $O(N\cdot \log N)$，二分很好用。