德劳内三角剖分原理
德劳内三角剖分（Delaunay Triangulation）是一种构建最优三角网格的方法，在地形建模、点云表面重建、计算几何等领域广泛应用。它是 TIN（三角不规则网络）的核心算法之一。
✅ 一句话定义：
德劳内三角剖分是在一组平面点中生成三角形的方式，使得任意一个三角形的外接圆内部都不包含其他点。
这个性质保证了构建的三角网格“最合理”、不瘦长，适合空间插值与地形建模。
📐 图示理解（可脑补）
给定如下点集：
• •• •
• •
普通三角化可能出现瘦长三角形，而德劳内三角剖分会选择连接方式，使得：
-
每个三角形“尽可能接近等边”；
-
最大化最小角度，避免瘦角。
🧠 核心原理详解
1. 外接圆（Circumcircle）原则
对于任意一个三角形 △ABC：
-
构建其外接圆；
-
如果该圆内部包含输入点集中的另一个点 D，则该三角形不符合 Delaunay 条件；
-
所以剖分要使得所有三角形满足其外接圆内部没有其他点。
这就是“空圆性质（Empty Circle Property）”。
2. 最大化最小角（Max–Min Angle）
Delaunay三角化具有一个几何优化性质：
在所有可能的三角剖分中，德劳内剖分使得所有三角形的最小角最大。
这避免了“瘦三角形”，提升了插值、仿真等任务的数值稳定性。
3. 与 Voronoi 图的关系
德劳内三角剖分与 Voronoi 图互为对偶：
-
每个 Delaunay 三角形的顶点来自相邻 Voronoi 区域；
-
如果你构建点集的 Voronoi 图，将其相邻区域的顶点连线，就得到 Delaunay 三角剖分。
⚙️ 构建算法（2D平面，主要）
方法一：增量法（Incremental Algorithm）
-
初始化一个大的包围三角形；
-
将点一个一个插入；
-
插入后检查并修复不符合空圆性质的三角形（边翻转）；
-
删除包围三角形。
方法二：分治法（Divide and Conquer）
-
类似归并排序，分点集两部分分别构建，然后合并边界。
方法三：扫描线法（Sweep Line / Fortune’s Algorithm）
-
用一条扫描线从上向下推进构建。
💡 示例（边翻转修复）
若四个点 A, B, C, D 构成两三角形 ABC 与 CBD，若 D 在 ABC 的外接圆内：
A/ \B---C\ /D
则翻转边 BC，得到新的三角形 ABD 和 ADC，使剖分更符合 Delaunay。
⏱️ 时间复杂度
-
平面（2D）情况：O(n log n)；
-
三维（3D）情况：复杂得多，最坏可达 O(n²)，需要更复杂的数据结构。
✅ 应用场景
| 应用 | 原因 |
|---|---|
| 🌍 TIN 地形建模 | 三角网插值稳定 |
| 🛰️ 点云重建 | 表面网格化 |
| 🧮 计算几何 | 网格生成、最近邻搜索 |
| 🎮 图形学 | 三角剖分、网格细分 |
| 🔍 空间分析 | 与 Voronoi 结合构建空间关系 |
❌ 局限
-
不适合处理带有约束边界（如河岸线、断崖）的问题，需使用 CDT（Constrained Delaunay Triangulation）；
-
在高维空间或大规模点集中构造复杂度较高；
-
对于嘈杂数据，可能产生不稳定边界。
✅ 总结
| 特性 | 内容 |
|---|---|
| 空圆性质 | 三角形的外接圆内不包含其他点 |
| 最优角度 | 最大化三角形最小角度，避免瘦角 |
| 对偶结构 | 与 Voronoi 图互为对偶 |
| 构建复杂度 | 平面O(n log n)，三维更复杂 |
| 应用广泛 | 地形建模、点云重建、图形学等 |
如果你想：
-
看代码实现（Python、C++等）；
-
使用工具库（如 CGAL、scipy、QGIS）；
-
应用于点云或DSM重建任务，