Day1 时间复杂度

一 概念

在 C++ 中，时间复杂度是衡量算法运行时间随输入规模增长的趋势的关键指标，用于评估算法的效率。它通过 大 O 表示法（Big O Notation） 描述，关注的是输入规模 n 趋近于无穷大时，算法时间增长的主导因素（忽略常数和低阶项）。

• 输入规模（n）：算法处理的数据量（如数组长度、链表节点数、矩阵维度等）。
• 大 O 表示法：表示算法时间复杂度的上界，例如 O(n) 表示时间与输入规模 n 成线性关系。
• 核心原则：只保留最高阶项，忽略常数因子和低阶项（如 O(2n + 3) 简化为 O(n)，O(n² + n) 简化为 O(n²)）。

二 常见时间复杂度类型 

1.O (1)：常数时间

无论输入规模多大，算法执行时间恒定（与 n 无关）。

典型场景：

• 数组 /vector 的随机访问（通过下标 [i]）。
• 哈希表（unordered_map）的插入、查找（平均情况）。

示例：访问数组元素 

#include <vector>int get_element(const std::vector<int>& vec, int index) {return vec[index];  // 随机访问，时间复杂度 O(1)
}

2. O (n)：线性时间

时间与输入规模 n 成正比，需逐个处理每个元素。
典型场景：

• 线性枚举（遍历数组、链表等）。
• 未排序数组的顺序查找。

示例：遍历 vector 求和

#include <vector>int sum_vector(const std::vector<int>& vec) {int sum = 0;for (int num : vec) {  // 遍历所有元素，时间复杂度 O(n)sum += num;}return sum;
}

3. O (logn)：对数时间

时间随输入规模的对数增长，通常出现在分治算法中（如二分查找）。
典型场景：

• 有序数组的二分查找（std::lower_bound）。
• 平衡二叉搜索树（如 std::set、std::map）的插入、查找。

示例：二分查找（C++ 标准库实现）

#include <vector>
#include <algorithm>  // for std::lower_bound// 查找目标值的位置（返回迭代器）
auto binary_search(const std::vector<int>& vec, int target) {return std::lower_bound(vec.begin(), vec.end(), target);// 时间复杂度 O(logn)（数组已排序）
}

4. O (nlogn)：线性对数时间

时间增长趋势为 n × logn，常见于高效的排序算法。
典型场景：

• 快速排序、归并排序（平均情况）。
• std::sort（C++ 标准库排序，基于快速排序 / 堆排序）。

示例：使用 std::sort 排序

#include <vector>
#include <algorithm>void sort_vector(std::vector<int>& vec) {std::sort(vec.begin(), vec.end());  // 平均时间复杂度 O(nlogn)
}

5.O (n²)：平方时间

时间与输入规模的平方成正比，常见于双重循环的暴力算法。
典型场景：

• 冒泡排序、选择排序（最坏 / 平均情况）。
• 二维数组的遍历（如矩阵元素逐个处理）。

示例：冒泡排序

#include <vector>void bubble_sort(std::vector<int>& vec) {int n = vec.size();for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {  // 双重循环，时间复杂度 O(n²)if (vec[j] > vec[j + 1]) {std::swap(vec[j], vec[j + 1]);}}}
}

6. 其他复杂度

• O(2ⁿ)：指数时间（如斐波那契数列的递归实现，存在大量重复计算）。
• O(n!)：阶乘时间（如全排列生成）。

三、时间复杂度的分析方法 

1. 单循环：O (n)

单个循环遍历 n 次，时间复杂度为 O(n)。

for (int i = 0; i < n; ++i) {// 操作（时间复杂度 O(1)）
}
// 总时间复杂度：O(n)

2. 双重循环：O (n²)

外层循环 n 次，内层循环 n 次，总次数为 n × n = n²。

for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {// 操作（O(1)）}
}
// 总时间复杂度：O(n²)

当外层循环到第 i 次时，内层循环 i 次，总次数为 (1 + n)n / 2 = (n + n^2) / 2次。

for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j <= i; ++j) {//操作（O(1)）}
}
/*  i  0  1  2  3  ...  n-1j  1  1  2  3  ...  n总操作次数为等差数列：(1 + n)n / 2 = (n + n^2) / 2只保留最高阶项，忽略常数因子和低阶项，故时间复杂度O(n^2)
*/

3. 对数循环：O (logn)

每次循环将问题规模减半（如二分查找）。

int i = 1;
while (i < n) {i *= 2;  // 每次规模翻倍
}
// 循环次数为 log₂n，时间复杂度 O(logn)

int i = n * n;
while (i != 1) {i /= 2; //每次规模减少为原来的一半
}/*
t(操作次数) 0       1           2            3     ...
i          n^2   n^2 / 2     n^2 / 4      n^2 / 8  ...由上面规律可得：i = n^2 / 2^t
将该表达式与 i = 1 联立
得 t = 2log2(n)
所以时间复杂度为 O(log2(n)),记为 O(logn)
*/

4. 递归的时间复杂度

递归的时间复杂度需结合递归深度和每层操作次数。
示例：斐波那契数列的递归实现（低效版）

int fib(int n) {if (n <= 1) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);  // 每次递归分裂为 2 个子问题
}
// 时间复杂度：O(2ⁿ)（存在大量重复计算）

四、时间复杂度的优化策略

1. 用哈希表优化查找（O (n) → O (1)）

将线性查找（O (n)）替换为哈希表（unordered_map）的键值查找（O (1)），以空间换时间。

示例：两数之和。在数组中找到两个元素值等于target，返回这两个元素组成的数组。

#include <vector>
#include <unordered_map>std::vector<int> two_sum(const std::vector<int>& nums, int target) {std::unordered_map<int, int> hash;  // 哈希表存储值→索引for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {int complement = target - nums[i];if (hash.count(complement)) {  // 查找时间 O(1)return {hash[complement], i};}hash[nums[i]] = i;  // 插入时间 O(1)}return {};
}
// 原暴力解法时间复杂度 O(n²)，优化后 O(n)

2. 用排序 + 二分查找优化（O (n²) → O (nlogn)）

将双重循环的暴力匹配替换为排序后二分查找。
示例：查找数组中是否存在两数之和为目标值

#include <vector>
#include <algorithm>bool has_two_sum(std::vector<int>& nums, int target) {std::sort(nums.begin(), nums.end());  // 排序 O(nlogn)for (int num : nums) {int complement = target - num;// 二分查找 complement，时间 O(logn)if (std::binary_search(nums.begin(), nums.end(), complement)) {return true;}}return false;
}
// 原暴力解法 O(n²)，优化后 O(nlogn)

3. 避免重复计算（O (2ⁿ) → O (n)）

通过动态规划或记忆化搜索，消除递归中的重复子问题。
示例：斐波那契数列的动态规划实现

#include <vector>int fib(int n) {if (n <= 1) return n;std::vector<int> dp(n + 1);  // 存储已计算的结果dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  // 避免重复计算，时间 O(n)}return dp[n];
}
// 原递归解法 O(2ⁿ)，优化后 O(n)

五 总结

时间复杂度反映算法运行时间随输入规模增长的趋势，不同复杂度的增长速度从低到高排列如下：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²)

时间复杂度是评估算法效率的核心指标。在 C++ 中，通过分析循环嵌套、递归深度或操作次数，可以确定算法的时间复杂度。实际编码时，应优先选择低时间复杂度的算法（如 O (nlogn) 优于 O (n²)），并利用哈希表、排序 + 二分等优化手段降低复杂度。同时，结合数据结构的特性（如unordered_map的 O (1) 查找），可以显著提升程序性能。