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【数据结构】map_set前传：二叉搜索树(C++)

news 来源：原创 2025/5/13 6:57:30

二叉搜索树K模型的模拟实现

二叉搜索树的结构：

Insert()插入：

InOrder()中序遍历：

Find()查找：

Erase()删除：

参考代码：

二叉搜索树K/V模型的模拟实现：

K/V模型的简单应用举例：

二叉搜索树的局限性：

二叉搜索树(Binary Search Tree)又称二叉排序树，它在二叉树的基础上有如下特性：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

并且它不允许有重复值，如果在上面的二叉搜索树中再插入6，就会插入失败

本篇会在模拟实现的过程中带着大家学习

二叉搜索树有K模型和K/V模型两种，下面一一实现

二叉搜索树K模型的模拟实现

二叉搜索树的结构：

对于一个二叉树的节点，都有一个值，一个左子树，一个右子树

template<class K>
struct BTreeNode
{BTreeNode(K key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}BTreeNode* _left;//左子树BTreeNode* _right;//右子树K _key;//值
};

二叉树中只需要有一个根节点，就能扩展出来左子树和右子树

template<class K>
class BTree
{
public:typedef BTreeNode<K> Node;
private:Node* _root = nullptr;
};

Insert()插入：

二叉搜索树的插入函数返回值是bool类型，这是为了判断插入是否成功。何时会失败呢？当要插入的新值在树中已经有时，就会插入失败(二叉搜索树不会有重复值)。

假如要在下面这棵树插入2，就会是如下过程

指针走到一个空节点时，就代表可以插入了

bool Insert(const K& key)//插入新数据，bool返回值来判断插入是否成功(因为二叉搜索树是不允许有相同数据的)
{if (_root == nullptr)//如果根节点为空，就把值赋给根节点{_root = new Node(key);return true;}Node *cur = _root, *parent = nullptr;//双指针走法，这样可以找到要赋值节点的父亲while (cur){parent = cur;if (key > cur->_key)//如果要插入的值比当前节点大，就往右走cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)//如果插入的值比当前节点小，就往左走cur = cur->_left;elsereturn false;//如果相同，就返回false}cur = new Node(key);//把值赋给curif (key > parent->_key)//判断cur应该放到父亲的左边还是右边parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;
}

可以看到实现中除了cur指向当前节点的指针外，还有一个指向父亲节点的指针，这是为了什么呢？

如果没有父亲节点，直接将值赋给cur，那cur此时只是个局部变量，不会到树中

并且我们需要父亲节点的值来判断到底是要插入到左树还是右树(虽然在遍历时就已经判断好是走左树还是右树，但下面并不知道)

InOrder()中序遍历：

在本篇开始时就说过，二叉搜索树也叫二叉排序树，这是因为它在用中序遍历走时，正好是升序排列

所以在打印一个二叉搜索树时，一般就会用中序遍历打印

void _InOrder(Node* root)//递归实现中序遍历
{if (root){_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}}
void InOrder()//中序遍历
{_InOrder(_root);//因为要递归，而且用户调用不到_root，所以要再创个用于递归的函数cout << endl;
}

为什么这里还要再搞一个_InOrder函数呢？

如果直接在InOrder中递归遍历，就需要用户在调用函数时就传根节点过去，但根节点是private类型，用户访问不到，所以这里要在成员函数中调用传了根节点的函数来实现递归

Find()查找：

查找和插入的思想类似，就是用需要查找的值来对比当前节点，如果比当前节点大，就进入右子树，如果小，就进入左子树，如果相等，就返回true

bool Find(const K& key)//查找某个值
{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)//如果比当前节点大，就去右子树找cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)//如果比当前节点小，就去左子树找cur = cur->_left;elsereturn true;}return false;
}

Erase()删除：

这是二叉搜索树实现中最难的部分，因为它分为多种情况

最简单的一种，就是删除叶子节点，因为它没有孩子需要顾虑，直接释放再给置空就好

如果当前节点左子树有孩子，右子树没有孩子，就需要先找到当前节点的父亲，判断当前节点是在父亲的左树还是右树，再让父亲的左/右树指向当前节点的左子树，当然，别忘了释放当前节点

如果当前节点的右子树有孩子，左子树没有孩子，就需要先找到当前节点的父亲，判断当前节点是在父亲的左树还是右树，再让父亲的左/右树指向当前节点的右子树，再释放当前节点。和上面正好相反

两边都没有节点的情况就可以被划分在这两个里面的任意一个，因为不管哪个，都是要让父亲指向空

最棘手的情况是当前节点的左右子树都有孩子，也就是要找一个能满足左边比它小，右边比它大的替代值，这时要上哪边找呢？

其实左右都能找到，即左子树的最右节点或右子树的最左节点，它们都符合代替后右大，左边小的规则

当然，Erase的返回值也是bool类型，如果给的是一个树中根本没有的值，就需要返回false

bool Erase(const K& key)//删除某个值(节点)
{//找到要删除的那个值Node* cur = _root, * parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else//此时为找到要删除的节点{if (cur->_left == nullptr)//左子树为空{if (parent == nullptr)//如果删除的是根节点_root = cur->_right;else if (parent->_left == cur)//如果此时要删除的节点是在父亲的左边parent->_left = cur->_right;//就让父亲的左子树变成删除节点的右子树else//如果此时要删除的节点是在父亲的右边parent->_right = cur->_right;//就让父亲的右子树变成删除节点的右子树delete cur;}else if (cur->_right == nullptr)//右子树为空{if (parent == nullptr)//如果删除的是根节点_root = cur->_left;else if (parent->_left == cur)//如果此时要删除的节点是在父亲的左边parent->_left = cur->_left;//就让父亲的左子树变成删除节点的左子树else//如果此时要删除的节点是在父亲的右边parent->_right = cur->_left;//就让父亲的右子树变成删除节点的左子树delete cur;}else//如果左右子树都有，就用右子树的最左节点或左子树的最右节点{//这里我用的是右子树的最左节点，所以先找到最左节点和最左节点的父亲Node* RTree = cur->_right;Node* RTreeparent = cur;while (RTree->_left){RTreeparent = RTree;RTree = RTree->_left;}cur->_key = RTree->_key;//将最左节点的值给要删除的节点//此时变成删除最左节点if (RTreeparent->_left == RTree)//如果最左节点是在父亲的左边RTreeparent->_left = RTree->_right;//就把父亲左子树变成删除节点的右子树(因为左子树肯定没有了)else//如果最左节点是在父亲的右边RTreeparent->_right = RTree->_right;//就把父亲右子树变成删除节点的右子树delete RTree;//最后删除这个最左节点}return true;}}return false;
}

参考代码：

template<class K>
struct BTreeNode//二叉树的节点
{BTreeNode(K key,V value):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),{}BTreeNode* _left;//左子树BTreeNode* _right;//右子树K _key;//键值
};template<class K>
class BTree
{
public:typedef BTreeNode<K> Node;bool Insert(const K& key)//插入新数据，bool返回值来判断插入是否成功(因为二叉搜索树是不允许有相同数据的){if (_root == nullptr)//如果根节点为空，就把值赋给根节点{_root = new Node(key);return true;}Node *cur = _root, *parent = nullptr;//双指针走法，这样可以找到要赋值节点的父亲while (cur){parent = cur;if (key > cur->_key)//如果要插入的值比当前节点大，就往右走cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)//如果插入的值比当前节点小，就往左走cur = cur->_left;elsereturn false;//如果相同，就返回false}cur = new Node(key);//把值赋给curif (key > parent->_key)//判断cur应该放到父亲的左边还是右边parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}void _InOrder(Node* root)//递归实现中序遍历{if (root){_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}}void InOrder()//中序遍历{_InOrder(_root);//因为要递归，而且用户调用不到_root，所以要再创个用于递归的函数cout << endl;}bool Find(const K& key)//查找某个值{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)//如果比当前节点大，就去右子树找cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)//如果比当前节点小，就去左子树找cur = cur->_left;elsereturn true;}return false;}bool Erase(const K& key)//删除某个值(节点){//找到要删除的那个值Node* cur = _root, * parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else//此时为找到要删除的节点{if (cur->_left == nullptr)//左子树为空{if (parent == nullptr)//如果删除的是根节点_root = cur->_right;else if (parent->_left == cur)//如果此时要删除的节点是在父亲的左边parent->_left = cur->_right;//就让父亲的左子树变成删除节点的右子树else//如果此时要删除的节点是在父亲的右边parent->_right = cur->_right;//就让父亲的右子树变成删除节点的右子树delete cur;}else if (cur->_right == nullptr)//右子树为空{if (parent == nullptr)//如果删除的是根节点_root = cur->_left;else if (parent->_left == cur)//如果此时要删除的节点是在父亲的左边parent->_left = cur->_left;//就让父亲的左子树变成删除节点的左子树else//如果此时要删除的节点是在父亲的右边parent->_right = cur->_left;//就让父亲的右子树变成删除节点的左子树delete cur;}else//如果左右子树都有，就用右子树的最左节点或左子树的最右节点{//这里我用的是右子树的最左节点，所以先找到最左节点和最左节点的父亲Node* RTree = cur->_right;Node* RTreeparent = cur;while (RTree->_left){RTreeparent = RTree;RTree = RTree->_left;}cur->_key = RTree->_key;//将最左节点的值给要删除的节点//此时变成删除最左节点if (RTreeparent->_left == RTree)//如果最左节点是在父亲的左边RTreeparent->_left = RTree->_right;//就把父亲左子树变成删除节点的右子树(因为左子树肯定没有了)else//如果最左节点是在父亲的右边RTreeparent->_right = RTree->_right;//就把父亲右子树变成删除节点的右子树delete RTree;//最后删除这个最左节点}return true;}}return false;}
private:Node* _root = nullptr;
};

二叉搜索树K/V模型的模拟实现：

K模型是指key模型，即只存储一个键值

K/V模型是指key/value模型，在上面的K模型中，节点只会存储一个K类型的key，但在K/V模型中，除了存储key，还会存储一个V类型的value，有什么应用场景呢？

K模型场景举例：通过学号查询学生是否存在；注册系统中校验用户名是否已被占用

虽然这些操作用数组遍历也能做到，但遍历是时间复杂度是O(N)，而用二叉搜索树后的时间复杂度只有O(logN)

K/V模型场景举例：英汉词典中通过英文单词查找对应的中文翻译

例如key中存apple，value中存苹果，就可以通过找apple来输出苹果

K/V模型的实现只需要在K模型的基础上加上V就可以了

template<class K,class V>
struct BTreeNode
{BTreeNode(K key , V value):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),_value(value){}BTreeNode* _left;//左子树BTreeNode* _right;//右子树K _key;//键值V _value;//对应数据
};template<class K,class V>
class BTree
{
public:typedef BTreeNode<K,V> Node;bool Insert(const K& key,const V& value)//插入新数据，bool返回值来判断插入是否成功(因为二叉搜索树是不允许有相同数据的){if (_root == nullptr)//如果根节点为空，就把值赋给根节点{_root = new Node(key,value);return true;}Node *cur = _root, *parent = nullptr;//双指针走法，这样可以找到要赋值节点的父亲while (cur){parent = cur;if (key > cur->_key)//如果要插入的值比当前节点大，就往右走cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)//如果插入的值比当前节点小，就往左走cur = cur->_left;elsereturn false;//如果相同，就返回false}cur = new Node(key,value);//把值赋给curif (key > parent->_key)//判断cur应该放到父亲的左边还是右边parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}void _InOrder(Node* root)//递归实现中序遍历{if (root){_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}}void InOrder()//中序遍历{_InOrder(_root);//因为要递归，而且用户调用不到_root，所以要再创个用于递归的函数cout << endl;}Node* Find(const K& key)//查找某个值{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)//如果比当前节点大，就去右子树找cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)//如果比当前节点小，就去左子树找cur = cur->_left;elsereturn cur;}return nullptr;}bool Erase(const K& key)//删除某个值(节点){//找到要删除的那个值Node* cur = _root, * parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else//此时为找到要删除的节点{if (cur->_left == nullptr)//左子树为空{if (parent == nullptr)//如果删除的是根节点_root = cur->_right;else if (parent->_left == cur)//如果此时要删除的节点是在父亲的左边parent->_left = cur->_right;//就让父亲的左子树变成删除节点的右子树else//如果此时要删除的节点是在父亲的右边parent->_right = cur->_right;//就让父亲的右子树变成删除节点的右子树delete cur;}else if (cur->_right == nullptr)//右子树为空{if (parent == nullptr)//如果删除的是根节点_root = cur->_left;else if (parent->_left == cur)//如果此时要删除的节点是在父亲的左边parent->_left = cur->_left;//就让父亲的左子树变成删除节点的左子树else//如果此时要删除的节点是在父亲的右边parent->_right = cur->_left;//就让父亲的右子树变成删除节点的左子树delete cur;}else//如果左右子树都有，就用右子树的最左节点或左子树的最右节点{//这里我用的是右子树的最左节点，所以先找到最左节点和最左节点的父亲Node* RTree = cur->_right;Node* RTreeparent = cur;while (RTree->_left){RTreeparent = RTree;RTree = RTree->_left;}cur->_key = RTree->_key;//将最左节点的值给要删除的节点//此时变成删除最左节点if (RTreeparent->_left == RTree)//如果最左节点是在父亲的左边RTreeparent->_left = RTree->_right;//就把父亲左子树变成删除节点的右子树(因为左子树肯定没有了)else//如果最左节点是在父亲的右边RTreeparent->_right = RTree->_right;//就把父亲右子树变成删除节点的右子树delete RTree;//最后删除这个最左节点}return true;}}return false;}
private:Node* _root = nullptr;
};

K/V模型的简单应用举例：

就拿上面说过的词典来举例，K值是英语单词，V值是对应的中文意思，这样就可以通过查找英语单词来输出中文意思

BTree<string, string> Dict;//二叉搜索树
Dict.Insert("apple", "苹果");//单词插入
Dict.Insert("banana", "香蕉");
Dict.Insert("code", "代码");
Dict.Insert("bug", "虫子");
Dict.Insert("kingdom", "王国");
string eng;//输入的字符串
while (cin >> eng)
{BTreeNode<string, string>* zh = Dict.Find(eng);//找到的节点if (zh != nullptr)cout << zh->_value << endl;elsecout << "词典没有此单词\n";
}

输出结果：(Ctrl+Z是给eng字符串传NULL值)

还可以用K/V模型来统计每个key出现的次数，只要将V的类型设为int，每遇到一次就让V++，就可以统计出每个key所对应的出现次数

string strs[] = { "野兽先辈","想啊，很想啊","王爷","野兽先辈","想啊，很想啊","野兽先辈","想啊，很想啊","极霸矛嘛","想啊，很想啊","野兽先辈","野兽先辈"};
BTree<string, int> cnt;//计数的二叉搜索树
for (const auto& phr : strs)//遍历数组
{if (BTreeNode<string, int>* node = cnt.Find(phr))//如果能在树中找到该字符串node->_value++;//就只需要让它的次数+1elsecnt.Insert(phr, 1);//如果找不到，就创建一个节点，次数是1
}
cnt.InOrder();

输出结果：