《普通逻辑》学习记录——关系命题及其推理
目录
一、关系命题
1.1、区别于性质命题
1.2、关系命题的组成部分
1.3、关系命题的形式化表示
1.4、关系命题种类
1.5、周延性问题
二、关系的性质
2.1、对称性
2.1.1、对称性关系
2.1.2、反对称性关系
2.1.3、非对称性关系
2.2、传递性
2.2.1、传递性关系
2.2.2、反传递性关系
2.2.3、非传递性关系
三、关系推理
3.1、纯关系推理
3.1.1、对称性关系推理
3.1.2、反对称性关系推理
3.1.3、传递性关系推理
3.2、混合关系推理
四、练习题
上海人民出版社《普通逻辑（第五版）》学习记录
一、关系命题
反映事物与事物之间关系的命题。它强调任何事物都不是孤立存在的，而是与其他事物存在某种联系。
例：
五大于三。
——反映了“五”和“三”之间的“大于”关系。
李白与杜甫生在同一时代。
——反映了“李白”和“杜甫”之间的“生在同一时代”的关系。
1.1、区别于性质命题
关系命题涉及两个或多个对象之间的关系，而性质命题通常只描述一个对象的属性。
1.2、关系命题的组成部分
- 关系者项：承担关系的对象，可以是一个、两个或更多。例如，“五”、“三”、“李白”、“杜甫”等。
- 关系项：关系者项之间存在的关系，如“大于”、“生在同一时代”等。
- 量项：关系者项数量的概念，如“有的”、“所有的”。
1.3、关系命题的形式化表示
使用符号“R”表示关系项，用“a”和“b”分别表示关系者前项和后项。
例：
“五大于三”可表示为 aRb 或 R(a, b)。
1.4、关系命题种类
- 肯定的关系命题。如“a与b有R关系”。
- 否定的关系命题。如“a与b没有R关系”。
1.5、周延性问题
如果关系命题反映了关系者项的全部外延，则该关系者项是周延的；否则，不周延。
二、关系的性质
2.1、对称性
如果一个对象与另一个对象有某种关系，那么另一个对象是否也与第一个对象有同样的关系。
2.1.1、对称性关系
对象A与对象B之间存在某关系R，对象B与对象A之间也存在同样的关系R。
例：
”小王和小赵是同学”意味着“小赵和小王也是同学”。
“张三是李四的同龄人”意味着“李四是张三的同龄人”。
“张三家是李四家的邻居”意味着“李四家也是张三家的邻居”。
2.1.2、反对称性关系
对象A与对象B之间存在某关系R，对象B与对象A之间不存在同样的关系R（除非A和B是同一个对象）。
例：
如果张三是李四的父亲，则李四不能同时是张三的父亲。
若 a ≤ b 且 b ≤ a，则 a 和 b 必须相等。
2.1.3、非对称性关系
对象A与对象B之间存在某关系R，对象B与对象A之间一定不存在同样的关系R，且A和B不能是同一个对象。
例：
若 a < b，则不可能有 b < a。
如果队伍A在比赛中战胜了队伍B，则队伍B不可能在同一场比赛中战胜队伍A。
如果事件A发生在事件B之前，则事件B不可能发生在事件A之前。
2.2、传递性
2.2.1、传递性关系
甲对乙有某种关系，乙对丙也有这种关系，且甲对丙也有这种关系。
例：
如果甲的成绩大于乙的成绩，乙的成绩又大于丙的成绩，那么甲的成绩大于丙的成绩。
如果甲是乙的祖先，乙是丙的祖先，那么甲也是丙的祖先。
如果城市A位于城市B的北边，城市B位于城市C的北边，那么城市A必然位于城市C的北边。
如果张三比李四年长，李四比王五年长，那么张三比王五更年长。
2.2.2、反传递性关系
甲对乙有某种关系，乙对丙有这种关系，但甲对丙一定没有这种关系。
例：
如果甲是乙的父亲，乙是丙的父亲，那么甲不可能是丙的父亲。
如果甲比乙年长两岁，乙比丙年长两岁，那么甲和丙之间的年龄差不是两岁，而是四岁。
在剪刀-石头-布游戏中，剪刀胜布、布胜石头，但剪刀不能胜石头。
2.2.3、非传递性关系
甲对乙有某种关系，乙对丙有这种关系，但甲对丙不一定有这种关系（可能有也可能没有）。
例：
如果张三认识李四，李四认识王五，那么张三可能认识王五也可能不认识王五。
三、关系推理
前提至少有一个是关系命题，依据前提中关系的逻辑性质推演。
3.1、纯关系推理
前提和结论都是关系命题的推理。
包括四种类型：
3.1.1、对称性关系推理
依据关系的对称性推演。若R是对称性关系，那么若aRb，则bRa。
例：
小明和小红是邻居，“邻居” 关系是对称性关系，所以可以推出：小红和小明是邻居。
3.1.2、反对称性关系推理
依据关系的对称性推演。若R是反对称性关系，那么若aRb，则b¬Ra。
例：
5大于3，“大于” 关系是反对称关系，所以可以推出3不大于5。
3.1.3、传递性关系推理
依据关系的传递性推演。若R是传递性关系，那么若aRb，bRc，则aRc。
例：
珠江在长江之南，长江在黄河之南，“在...之南”是传递性关系，所以可以推出珠江在黄河之南。
3.1.4、反传递性关系推理
依据关系的传递性推演。若R是反传递性关系，那么若aRb，bRc，则a¬Rc。
例：
A 楼比 B 楼高两层，B 楼比 C 楼高两层，“高两层” 这种关系是反传递的，那么可以推出 A 楼比 C 楼不是只高两层。
3.2、混合关系推理
形式如下：
- 前提1：关系命题
- 前提2：性质命题
- 结论：关系命题。
即：a与b有R关系，c是a，所以c与b有R关系。与三段论相似，也叫关系三段论。
混合关系推理必须遵守以下五条规则：
1、中项在前提中至少要周延一次
正面例子：
- 前提1（关系命题）：所有的苹果都是水果。（所有苹果都属于“水果”这一大类）
- 前提2（性质命题）：水果富含维生素C。
- 结论：苹果富含维生素C。（“水果”作为中项在前提1中是周延的）
反面例子：
- 前提1（关系命题）：一些人喜欢狗。
- 前提2（性质命题）：狗可以成为很好的伴侣动物。
- 结论：一些人认为伴侣动物很好。（错误结论）（“狗”作为中项没有在一个前提中被周延提及，导致无法有效支持结论）
2、在前提中不周延的概念在结论中也不得周延
正面例子：
- 前提1（关系命题）：所有运动员都需要训练。
- 前提2（性质命题）：有些年轻人是运动员。
- 结论：有些年轻人需要训练。（“年轻人” 在前提 “有些年轻人是运动员” 中不周延，在结论中也不周延 ，推理合理。）
反面例子：
- 前提1（关系命题）：所有的志愿者都热心公益。
- 前提2（性质命题）：有些年轻人是志愿者。
- 结论：所有年轻人都热心公益 。（错误结论）（“年轻人” 在前提 “有些年轻人是志愿者” 中不周延（“有些” 没有断定 “年轻人” 的全部外延 ） ，在结论 “所有年轻人都热心公益” 中却周延了（“所有” 断定了全部外延 ））
3、前提中的性质命题应是肯定的
混合关系推理类似三段论，需要通过中项来联结其他概念。性质命题为肯定形式时，才能确保中项与其他概念间建立起有效的逻辑联系。若性质命题是否定的，会切断这种联系（否定命题只能说明关系者项不具备某种性质）。
正面例子：
- 前提1（关系命题）：志愿者都有爱心。
- 前提2（性质命题）：张三是志愿者。
- 结论：张三有爱心。
反面例子：
- 前提1（关系命题）：上班族都需要工作。
- 前提2（性质命题）：张三不是上班族。
- 结论：张三不需要工作。（错误结论）
4、如果前提中的关系命题是肯定的，则结论中的关系命题也应是肯定的；如果前提中的关系命题是否定的，则结论中的关系命题也应是否定的
正面例子：
例1：
- 前提1（关系命题）：宿舍前提同学都同意晚上去吃火锅。
- 前提2（性质命题）：张三是宿舍的一员。
- 结论：张三同意晚上去吃火锅。
例2：
- 前提1（关系命题）：乙班同学都不参加晚会的歌舞表演。
- 前提2（性质命题）：张三是乙班同学。
- 结论：张三不参加晚会的歌舞表演。
反面例子：
例1：
- 前提1（关系命题）：丙组员工都认同新制度。
- 前提2（性质命题）：张三是丙组员工。
- 结论：张三不认同新制度。（错误结论）
例2：
- 前提1（关系命题）：丁队成员都未参加此次冲突。
- 前提2（性质命题）：李四是丁队成员。
- 结论：李四参加了此次冲突。（错误结论）
5、如果关系的性质不是对称性的，则在关系命题前提中作为关系者前项（或后项）的概念在结论中也应作为关系者前项（或后项）。
正面例子：
- 前提1（关系命题）：哥哥比弟弟年龄大。
- 前提2（性质命题）：小明是哥哥。
- 结论：小明比弟弟年龄大。“比…… 年龄大” 是非对称性关系 ，“弟弟” 在前提是关系者后项，在结论也作为关系者后项。
反面例子：
- 前提1（关系命题）：老师表扬学生。
- 前提2（性质命题）：小李是学生。
- 结论：学生表扬小李 。（错误结论）
“表扬” 是非对称性关系 ，“学生”在前提中是关系者后项，而结论中则作为前项，推理错误。
四、练习题
（一）、从对称性角度，分析下列命题中划有横线的关系各属何种关系
- 甲概念包含于乙概念：非对称关系。甲包含于乙，乙不一定包含于甲。
- 甲命题等值于乙命题：对称关系。甲等值于乙，则乙也等值于甲。
- 甲队战胜乙队：非对称关系。甲队战胜乙队，则同时乙队不会战胜甲队。
- 张三帮助过李四：非对称关系。张三帮助过李四，李四不一定帮助过张三。
- 张三和李四同岁：对称关系。张三和李四同岁，李四和张三也同岁。
- 甲命题和乙命题是矛盾的：对称关系。甲命题和乙命题是矛盾的，乙命题和甲命题也是矛盾的。
- 张三欺骗李四：非对称关系。张三欺骗李四，李四不一定欺骗张三。
- “A爱慕B”：非对称关系。A爱慕B，B不一定爱慕A。
（二）、从传递性角度，分析下列命题中标有横线的关系各属何种关系
- 张某控告了王某，王某控告了刘某：非传递关系。张某控告王某，王某控告刘某，并不能推出张某控告刘某。
- 北京在杭州以北，杭州在广州以北：传递关系。北京在杭州以北，杭州在广州以北，可以推出北京在广州以北。
- B明星队被C俱乐部队战败，C俱乐部队被F联队战败：非传递关系。B队被C队战败，C队被F队战败，并不能推出B队被F队战败。
- 学生们尊敬吴老师，吴老师尊敬王校长：非传递关系。学生尊敬吴老师，吴老师尊敬王校长，并不能推出学生尊敬王校长。