高等数学第六章---定积分（§6.2定积分在几何上的应用2）

§6.2定积分在几何上的应用：体积与弧长

本讲我们继续探讨定积分的应用，重点关注如何计算旋转体的体积、具有已知平行截面面积的立体的体积，以及平面曲线的弧长。我们还会补充参数方程形式下的面积计算公式。

一、补充：参数方程形式的面积公式

在上一讲中，我们知道若平面区域 $D$ 的边界曲线由显函数 $y=f(x)$ ($a\le x\le b$) 和 $x$ 轴围成，则其面积为：
$$A={\int }_a^{b}f(x)dx$$
或者对于由 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 围成的区域 ($f(x)\ge g(x)$)：
$$A={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$

若平面区域的边界曲线由参数方程给出：
$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$$
且当 $t$ 从 $\alpha$ 增加到 $\beta$ 时，点 $(x(t),y(t))$ 描绘出边界曲线。如果曲线封闭，或者我们考虑的是由参数曲线的一段、$x$ 轴以及两条垂直线 $x=x(\alpha )$ 和 $x=x(\beta )$ 围成的区域，则面积可以通过变量替换得到。
假设 $y(t)\ge 0$，并且当 $t$ 从 $\alpha$ 变化到 $\beta$ 时，$x(t)$ 单调变化（例如从 $x(\alpha )$ 到 $x(\beta )$）。
面积元素 $dA=ydx=y(t)d(x(t))=y(t)x^{\prime }(t)dt$。
因此，面积公式为：
$$A={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)dt$$
注意：积分的上下限 $\alpha ,\beta$ 是参数 $t$ 的范围。如果 $x^{\prime }(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上改变符号，或者 $x(t)$ 不是单调的，则需要仔细处理积分限和可能产生的负面积。通常，我们确保当 $t$ 从积分下限到上限时，$x(t)$ 是增加的（对应从左到右扫描面积）；如果 $x(t)$ 是减少的，积分结果会是负的，此时应取绝对值或调整积分限的顺序，例如 $A={\int }_{\beta }^{\alpha }y(t)x^{\prime }(t)dt=-{\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)dt$。

例 1： 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围成的面积。

解：

方法 1：按边界曲线为 $y=f(x)$ 形式计算面积。

1. 画图：
   [图示：椭圆及其第一象限部分]
   

2. 确定区域类型，写出不等式表示。
   椭圆方程的上半部分为 $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$。
   根据对称性，只需计算第一象限部分的面积，然后乘以 4 即可。
   第一象限区域 $D_1:0\le x\le a,0\le y\le \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$。

3. 代入面积计算公式，并计算定积分。
   第一象限面积 $A_1={\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx$。
   总面积 $A=4A_1=4{\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx$。
   令 $x=a\sin \theta$, 则 $dx=a\cos \theta d\theta$。
   当 $x=0$, $\sin \theta =0\Rightarrow \theta =0$。
   当 $x=a$, $\sin \theta =1\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{2}$。
   $$\begin{array}{rl}A& =\frac{4b}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }\cdot (a\cos \theta )d\theta \\ & =\frac{4b}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(a\cos \theta )\cdot (a\cos \theta )d\theta \\ & =\frac{4b}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{a}^2{\cos }^2\theta d\theta \\ & =4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta \\ & =2ab{\left[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =2ab\left[\left(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\sin \pi \right)-\left(0+\frac{1}{2}\sin 0\right)\right]\\ & =2ab\left[\frac{\pi }{2}\right]=\pi ab\end{array}$$

方法 2：按参数方程形式计算面积。

椭圆的参数方程为：
$$\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}$$
当 $t$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时，描绘整个椭圆。$x^{\prime }(t)=-a\sin t$。
整个椭圆的面积可以这样考虑：当 $t$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$，曲线逆时针描绘。
一种常用的计算封闭曲线面积的参数形式是 $A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt$ (格林公式的特例)。
或者，我们可以使用 $A={\int }_{t_1}^{t_2}y(t)x^{\prime }(t)dt$。
为了得到正面积，我们考虑 $x$ 从 $-a$ 到 $a$ (上半椭圆)，对应 $t$ 从 $\pi$ 到 $0$。
$A_{\text{upper half}}={\int }_{\pi }^0(b\sin t)(-a\sin t)dt=-ab{\int }_{\pi }^0{\sin }^{2}tdt=ab{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt$
$A_{\text{total}}=2\cdot ab{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt=2ab{\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2t}{2}dt=ab{\left[t-\frac{1}{2}\sin 2t\right]}_0^{\pi }=ab[\pi ]=\pi ab$.

或者，按照原题解的思路，计算第一象限面积再乘以4：
在第一象限，$x$ 从 $a$ 减小到 $0$ 时，$t$ 从 $0$ 增加到 $\frac{\pi }{2}$。
若要使用 $\int ydx$ 且 $dx=x^{\prime }(t)dt$，积分方向需注意。
若 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi }{2}$ (对应 $x$ 从 $a$ 到 $0$)，则 $A_{\text{1st quad}}=\left|{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}y(t)x^{\prime }(t)dt\right|$ 或者调整积分限。
$A_{\text{1st quad}}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}y(t)(-x^{\prime }(t))dt$ (如果 $x$ 递减)，或者 ${\int }_{\text{x from }0}^{\text{x from }a}ydx={\int }_{t=\pi /2}^{t=0}y(t)x^{\prime }(t)dt$.
原解：
$$A_1={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0(b\sin t)(-a\sin t)dt=ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}tdt$$
(这里 $x^{\prime }(t)=(a\cos t{)}^{\prime }=-a\sin t$。当 $t$ 从 $\pi /2$ 减到 $0$ 时，$x$ 从 $0$ 增到 $a$。)
总面积 $A=4A_1$:
$$\begin{array}{rl}A& =4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}tdt\\ & =4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\cos 2t}{2}dt\\ & =2ab{\left[t-\frac{1}{2}\sin 2t\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =2ab\left[\left(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\sin \pi \right)-(0-0)\right]\\ & =2ab\left[\frac{\pi }{2}\right]=\pi ab\end{array}$$

---

二、体积

1. 旋转体的体积

(1) 旋转体定义
一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而形成的立体。该直线称为旋转轴。本节主要讨论旋转轴为 $x$ 轴或 $y$ 轴的情况。

(2) 旋转体的体积公式

① 由 $y=f(x)$，$x=a$，$x=b$，$x$ 轴所围成图形绕 $x$ 轴旋转的旋转体 (圆盘法)
[图示：y=f(x)绕x轴旋转的体积微元 - 圆盘法]

要计算该旋转体的体积 $V$ (假设 $f(x)\ge 0$)。由于体积具有区间可加性，我们可以使用元素法。
在 $[a,b]$ 上任取一小段 $[x,x+dx]$。这一小段对应的薄片区域绕 $x$ 轴旋转，近似形成一个圆盘（或矮圆柱体）。
该圆盘的底面半径为 $f(x)$，高（厚度）为 $dx$。
体积元素 $dV$ 为：
$$dV=\pi (\text{半径}{)}^2(\text{高})=\pi [f(x){]}^{2}dx$$
因此，旋转体的总体积为：
$$V={\int }_a^{b}dV=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

例 1： 求曲线 $y=\sqrt{x^2-1}$，直线 $x=2$ 及 $x$ 轴所围成图形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体的体积。
(注：$y=\sqrt{x^2-1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$。结合 $x=2$，所围区域应在 $x\in [1,2]$。)

解：

积分区间为 $[1,2]$。函数 $f(x)=\sqrt{x^2-1}$。
$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_1^2{\left(\sqrt{x^2-1}\right)}^{2}dx\\ & =\pi {\int }_1^2(x^2-1)dx\\ & =\pi {\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2\\ & =\pi \left[\left(\frac{2^3}{3}-2\right)-\left(\frac{1^3}{3}-1\right)\right]\\ & =\pi \left[\left(\frac{8}{3}-\frac{6}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{3}\right)\right]\\ & =\pi \left[\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right]=\frac{4}{3}\pi \end{array}$$

例 2： 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体的体积（旋转椭球体）。

解：

从椭圆方程解出 $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)$。
积分区间为 $[-a,a]$。
$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_{-a}^a{y}^{2}dx=\pi {\int }_{-a}^a\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)dx\end{array}$$
由于被积函数是偶函数，可以利用对称性：
$$\begin{array}{rl}V& =2\pi \frac{b^2}{a^2}{\int }_0^a(a^2-x^2)dx\\ & =2\pi \frac{b^2}{a^2}{\left[a^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^a\\ & =2\pi \frac{b^2}{a^2}\left[\left(a^3-\frac{1}{3}{a}^3\right)-0\right]\\ & =2\pi \frac{b^2}{a^2}\left(\frac{2}{3}{a}^3\right)=\frac{4}{3}\pi a{b}^2\end{array}$$

② 由 $y=f(x)$，$y=g(x)$（$f(x)\ge g(x)\ge 0$），$x=a$，$x=b$ 所围成图形绕 $x$ 轴旋转的旋转体 (垫圈法/空心圆环法)
[图示：y=f(x), y=g(x)绕x轴旋转的体积微元 - 垫圈法]

此时，体积微元 $dV$ 是一个垫圈（空心圆环柱体）的体积。外半径为 $f(x)$，内半径为 $g(x)$，厚度为 $dx$。
$$dV=\pi ({\text{外半径}}^2-{\text{内半径}}^2)(\text{高})=\pi ([f(x){]}^2-[g(x){]}^2)dx$$
旋转体的总体积为：
$$V=\pi {\int }_a^b([f(x){]}^2-[g(x){]}^2)dx$$

例 3： 求曲线 $y=\sin x$，$y=\cos x$（$0\le x\le \frac{\pi }{4}$）及 $y$ 轴 ($x=0$) 所围成图形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积。

解：

在区间 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上，$\cos x\ge \sin x\ge 0$。
所以外半径函数 $f(x)=\cos x$，内半径函数 $g(x)=\sin x$。
积分区间为 $[0,\frac{\pi }{4}]$。
$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)dx\\ & =\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2xdx\\ & =\pi {\left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & =\frac{\pi }{2}\left[\sin \left(2\cdot \frac{\pi }{4}\right)-\sin (0)\right]\\ & =\frac{\pi }{2}\left[\sin \frac{\pi }{2}-0\right]=\frac{\pi }{2}(1)=\frac{\pi }{2}\end{array}$$

③ 由 $x=\phi (y)$，$y=c$，$y=d$，$y$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转的旋转体 (圆盘法，对 $y$ 积分)

[图示：x=φ(y)绕y轴旋转的体积微元 - 圆盘法]

类似地，若区域由 $x=\phi (y)$ ($ \varphi(y) \ge 0$)，$y=c$, $y=d$ 和 $y$ 轴围成，绕 $y$ 轴旋转。
体积元素 $dV$ 是一个水平圆盘，半径为 $\phi (y)$，厚度为 $dy$。
$$dV=\pi [\phi (y){]}^{2}dy$$
旋转体的总体积为：
$$V=\pi {\int }_c^d[\phi (y){]}^{2}dy$$

例 4： 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周的旋转体的体积。

解：

从椭圆方程解出 $x^2=a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)=\frac{a^2}{b^2}(b^2-y^2)$。
积分区间为 $[-b,b]$。
$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_{-b}^b{x}^{2}dy=\pi {\int }_{-b}^b\frac{a^2}{b^2}(b^2-y^2)dy\end{array}$$
利用对称性：
$$\begin{array}{rl}V& =2\pi \frac{a^2}{b^2}{\int }_0^b(b^2-y^2)dy\\ & =2\pi \frac{a^2}{b^2}{\left[b^{2}y-\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^b\\ & =2\pi \frac{a^2}{b^2}\left[\left(b^3-\frac{1}{3}{b}^3\right)-0\right]\\ & =2\pi \frac{a^2}{b^2}\left(\frac{2}{3}{b}^3\right)=\frac{4}{3}\pi a^{2}b\end{array}$$

④ 由 $x=\phi (y)$，$x=\psi (y)$（$\phi (y)\ge \psi (y)\ge 0$），$y=c$，$y=d$ 所围成图形绕 $y$ 轴旋转的旋转体 (垫圈法，对 $y$ 积分)

体积微元 $dV$ 是一个水平垫圈，外半径 $\phi (y)$，内半径 $\psi (y)$，厚度 $dy$。
$$dV=\pi ([\phi (y){]}^2-[\psi (y){]}^2)dy$$
旋转体的总体积为：
$$V=\pi {\int }_c^d([\phi (y){]}^2-[\psi (y){]}^2)dy$$

⑤ 由 $y=f(x)$，$x=a$，$x=b$，$x$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转的旋转体 (柱壳法)

[图示：y=f(x)绕y轴旋转的体积微元 - 柱壳法]

考虑在 $[a,b]$ (假设 $0\le a<b$) 上取一小段 $[x,x+dx]$。这对应一个窄矩形区域，高为 $f(x)$，宽为 $dx$。
此窄矩形绕 $y$ 轴旋转形成一个薄壁圆柱壳。
圆柱壳的平均半径为 $x$，高为 $f(x)$，厚度为 $dx$。
体积元素 $dV$ 可以近似为圆柱壳展开后的长方体体积：(周长) $\times$ (高) $\times$ (厚度)。
$$dV\approx (2\pi x)\cdot f(x)\cdot dx$$
更严格的推导：
体积微元是两个同轴圆柱体体积之差，外圆柱半径 $x+dx$，内圆柱半径 $x$，高均为 $f(x)$。
$$dV=\pi (x+dx{)}^{2}f(x)-\pi x^{2}f(x)=\pi (x^2+2xdx+(dx{)}^2-x^2)f(x)$$
$$=\pi (2xdx+(dx{)}^2)f(x)=2\pi xf(x)dx+\pi f(x)(dx{)}^2$$
忽略高阶无穷小 $(dx{)}^2$ 项，得 $dV=2\pi xf(x)dx$。
旋转体的总体积为：
$$V={\int }_a^{b}dV=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

例 5： 求由 $y=\sqrt{x}$，$x=1$，$x=4$，$x$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转一周的旋转体的体积。

解：

函数 $f(x)=\sqrt{x}$，积分区间为 $[1,4]$。
$$\begin{array}{rl}V& =2\pi {\int }_1^{4}x\sqrt{x}dx\\ & =2\pi {\int }_1^4{x}^{\frac{3}{2}}dx\\ & =2\pi {\left[\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right]}_1^4=2\pi {\left[\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]}_1^4\\ & =2\pi \cdot \frac{2}{5}{\left[x^{\frac{5}{2}}\right]}_1^4\\ & =\frac{4\pi }{5}\left(4^{\frac{5}{2}}-1^{\frac{5}{2}}\right)=\frac{4\pi }{5}\left((2^2{)}^{\frac{5}{2}}-1\right)\\ & =\frac{4\pi }{5}(2^5-1)=\frac{4\pi }{5}(32-1)=\frac{4\pi }{5}(31)=\frac{124}{5}\pi \end{array}$$

2. 已知平行截面面积的立体体积

[图示：已知平行截面面积求体积的示意图]

假设一个立体位于两平行平面 $x=a$ 和 $x=b$ 之间。如果对于任意 $x\in [a,b]$，垂直于 $x$ 轴的截面面积为已知的函数 $A(x)$，且 $A(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。
取一小段 $[x,x+dx]$，对应的薄片的体积 $\Delta V$ 近似为一个底面积为 $A(x)$、高为 $dx$ 的柱体。
体积元素 $dV$ 为：
$$dV\approx A(x)dx$$
该立体的总体积为：
$$V={\int }_a^{b}dV={\int }_a^{b}A(x)dx$$

例 1： 求以半径为 $R$ 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 $h$ 的正劈锥体的体积。
(注：此处的“高为h”通常指劈锥体的尖到底面的垂直距离，或者指截面三角形的高。根据解答，这里的 $h$ 是截面等腰三角形的高。)

解：

取底圆所在的平面为 $xOy$ 平面，圆心 $O$ 为原点。假设底圆方程为 $X^2+Y^2=R^2$。
“平行且等于底圆直径的线段为顶” 描述的是劈开的方式。
“过 $\forall x\in (-R,R)$，作截面（等腰三角形），其面积为 $A(x)$”。
原解答的理解是：设 $x$ 轴穿过底圆的圆心，且垂直于截面。在任意位置 $x$ 处（$-R\le x\le R$），截面是一个等腰三角形。该等腰三角形的底边是垂直于 $x$ 轴的圆内弦，长度为 $2Y=2\sqrt{R^2-x^2}$。
如果这个等腰三角形的高恒为 $h$（此处的 $h$ 是题目中的高），则截面面积
$$A(x)=\frac{1}{2}\cdot (\text{底})\cdot (\text{高})=\frac{1}{2}\cdot (2\sqrt{R^2-x^2})\cdot h=h\sqrt{R^2-x^2}$$
这与原解答中的 $A(x)=h\cdot y=h\sqrt{R^2-x^2}$ (其中 $y$ 是半弦长) 一致。
[图示：正劈锥体及其截面示意图]

于是体积为：
$$V={\int }_{-R}^{R}A(x)dx={\int }_{-R}^{R}h\sqrt{R^2-x^2}dx$$
由于被积函数是偶函数：
$$V=2h{\int }_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx$$
定积分 ${\int }_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx$ 表示半径为 $R$ 的圆在第一象限的面积，即 $\frac{1}{4}\pi R^2$。
$$V=2h\left(\frac{1}{4}\pi R^2\right)=\frac{1}{2}\pi R^{2}h\text{或写作}\frac{\pi h{R}^2}{2}$$

---

三、平面曲线的弧长

1. 光滑曲线

若函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则称曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是光滑的。

2. 弧微分公式

考虑曲线 $y=f(x)$ 上的一小段弧，其两个端点在 $x$ 方向的投影差为 $\Delta x$，在 $y$ 方向的投影差为 $\Delta y$。
当 $\Delta x\to 0$ 时，弧长 $\Delta s$ 可以近似为连接两端点的弦长：
$$\Delta s\approx \sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$$
当 $\Delta x\to dx$ 时，$\Delta y\approx f^{\prime }(x)\Delta x=f^{\prime }(x)dx=dy$。
因此，弧微分（弧长元素）$ds$ 定义为：
$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx(\text{若以 }x\text{ 为参数})$$
或者
$$ds=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}dy(\text{若以 }y\text{ 为参数})$$

3. 曲线弧长公式

(1) 曲线由显函数 $y=f(x)$ 给出，$x\in [a,b]$
$$s={\int }_a^{b}ds={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

(2) 曲线由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 给出，$t\in [\alpha ,\beta ]$
$dx={\phi }^{\prime }(t)dt$, $dy={\psi }^{\prime }(t)dt$
$$ds=\sqrt{({\phi }^{\prime }(t)dt{)}^2+({\psi }^{\prime }(t)dt{)}^2}=\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$
$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$

(3) 曲线由极坐标方程 $\rho =\rho (\theta )$ 给出，$\theta \in [\alpha ,\beta ]$
将极坐标转换为参数方程：$x=\rho (\theta )\cos \theta$, $y=\rho (\theta )\sin \theta$。
$x^{\prime }(\theta )={\rho }^{\prime }(\theta )\cos \theta -\rho (\theta )\sin \theta$
$y^{\prime }(\theta )={\rho }^{\prime }(\theta )\sin \theta +\rho (\theta )\cos \theta$
$(x^{\prime }(\theta ){)}^2+(y^{\prime }(\theta ){)}^2=({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta {)}^2+({\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta {)}^2$
$=({\rho }^{\prime }{)}^2{\cos }^2\theta -2\rho {\rho }^{\prime }\cos \theta \sin \theta +{\rho }^2{\sin }^2\theta +({\rho }^{\prime }{)}^2{\sin }^2\theta +2\rho {\rho }^{\prime }\sin \theta \cos \theta +{\rho }^2{\cos }^2\theta$
$=({\rho }^{\prime }{)}^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+{\rho }^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=[\rho (\theta ){]}^2+[{\rho }^{\prime }(\theta ){]}^2$
所以，
$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[\rho (\theta ){]}^2+[{\rho }^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$

例 1： 计算曲线 $y=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$ 上相应于 $1\le x\le 2$ 的一段弧长。

解：
$f(x)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}-1}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$
$$\begin{array}{rl}s& ={\int }_1^2\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx={\int }_1^2\sqrt{1+(\sqrt{x}{)}^2}dx\\ & ={\int }_1^2\sqrt{1+x}dx\end{array}$$
令 $u=1+x$, $du=dx$. 当 $x=1,u=2$; 当 $x=2,u=3$.
$$s={\int }_2^3\sqrt{u}du={\int }_2^3{u}^{\frac{1}{2}}du={\left[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_2^3=\frac{2}{3}{\left[u^{\frac{3}{2}}\right]}_2^3$$
$$s=\frac{2}{3}\left(3^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$

例 2： 计算摆线 $\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )\end{array}$ 的一拱 ($0\le \theta \le 2\pi$) 的长度。

解：
参数方程为：
$$\{\begin{array}{l}x(\theta )=a(\theta -\sin \theta )\\ y(\theta )=a(1-\cos \theta )\end{array},0\le \theta \le 2\pi$$
计算导数：
$$x^{\prime }(\theta )=\frac{dx}{d\theta }=a(1-\cos \theta )$$
$$y^{\prime }(\theta )=\frac{dy}{d\theta }=a(0-(-\sin \theta ))=a\sin \theta$$
根据弧长公式：
$$s={\int }_0^{2\pi }\sqrt{[x^{\prime }(\theta ){]}^2+[y^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$
$$\begin{array}{rl}[x^{\prime }(\theta ){]}^2+[y^{\prime }(\theta ){]}^2& =[a(1-\cos \theta ){]}^2+[a\sin \theta {]}^2\\ & =a^2(1-2\cos \theta +{\cos }^2\theta )+a^2{\sin }^2\theta \\ & =a^2(1-2\cos \theta +{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )\\ & =a^2(1-2\cos \theta +1)=a^2(2-2\cos \theta )=2a^2(1-\cos \theta )\end{array}$$
利用半角公式 $1-\cos \theta =2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$：
$$[x^{\prime }(\theta ){]}^2+[y^{\prime }(\theta ){]}^2=2a^2\cdot 2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=4a^2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$$
所以，
$$\sqrt{[x^{\prime }(\theta ){]}^2+[y^{\prime }(\theta ){]}^2}=\sqrt{4a^2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}=\left|2a\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|$$
由于 $a>0$ (通常摆线参数 $a$ 为正)，且在 $0\le \theta \le 2\pi$ 时，$0\le \frac{\theta }{2}\le \pi$，所以 $\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\ge 0$。
因此，$\left|2a\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|=2a\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$。
$$\begin{array}{rl}s& ={\int }_0^{2\pi }2a\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta \\ & =2a{\left[\frac{-\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\frac{1}{2}}\right]}_0^{2\pi }=2a{\left[-2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right]}_0^{2\pi }\\ & =-4a{\left[\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right]}_0^{2\pi }\\ & =-4a\left(\cos \left(\frac{2\pi }{2}\right)-\cos (0)\right)=-4a(\cos \pi -\cos 0)\\ & =-4a(-1-1)=-4a(-2)=8a\end{array}$$

---

通过以上例题和作业，应能更好地掌握利用定积分计算旋转体体积、已知平行截面面积的立体体积以及平面曲线弧长的方法，并熟悉相关公式的应用步骤。