TFQMR和BiCGStab方法比较
TFQMR（Transpose-Free Quasi-Minimal Residual）和BiCGStab（Bi-Conjugate Gradient Stabilized）都是用于求解非对称线性方程组的迭代方法，属于Krylov子空间方法的范畴。它们分别是BiCG（双共轭梯度法）的改进版本，旨在解决BiCG的不稳定性和计算效率问题。以下是两者的详细比较：
1. 算法背景
-
BiCGStab：
- 由H.A. van der Vorst于1992年提出，是BiCG的稳定化改进版本。
- 通过引入多项式加速技巧（GMRES(1)思想）来平滑BiCG的振荡收敛行为。
- 主要目标是减少BiCG的 irregular convergence（不规则收敛）问题。
-
TFQMR：
- 由R.W. Freund于1993年提出，是QMR（Quasi-Minimal Residual）方法的转置无关版本。
- 通过避免显式计算转置矩阵来简化QMR的实现，同时保持QMR的拟最小残差性质。
- 目标是解决QMR中需要计算转置矩阵的问题。
2. 计算复杂度与存储需求
-
BiCGStab：
- 每步迭代需要 2次矩阵-向量乘法（无转置矩阵运算）。
- 存储需求：约 7个向量（包括残差、搜索方向等）。
- 计算量较低，适合大规模稀疏矩阵。
-
TFQMR：
- 每步迭代需要 1次矩阵-向量乘法（无转置矩阵运算）。
- 存储需求：约 6-7个向量。
- 计算量略低于BiCGStab，但可能需要更多迭代步数。
3. 收敛性与稳定性
-
BiCGStab：
- 收敛性通常比BiCG更平滑，但仍可能出现局部振荡（尤其是条件数较大的矩阵）。
- 对病态问题的鲁棒性一般，可能因多项式加速步骤而引入额外不稳定性。
- 实际应用中表现可靠，是许多科学计算库（如PETSc、Eigen）的默认非对称求解器之一。
-
TFQMR：
- 拟最小残差性质使其收敛曲线更平滑，但可能牺牲收敛速度。
- 理论上比BiCGStab更稳定，但实际性能高度依赖问题特性。
- 对于某些问题可能比BiCGStab慢，但更少出现剧烈振荡。
4. 实现难度
-
BiCGStab：
- 实现相对简单，逻辑清晰，适合作为非对称问题的首选方法。
- 需处理一个多项式加速步骤（GMRES(1)）。
-
TFQMR：
- 实现稍复杂，需维护额外的正交化过程（拟最小残差构造）。
- 无需处理转置矩阵，但需注意迭代中的残差更新策略。
5. 适用场景
-
优先选择BiCGStab：
- 需要快速收敛且矩阵条件数适中时。
- 作为默认尝试（尤其在工程计算中）。
- 对稳定性要求不极端苛刻的场景。
-
优先选择TFQMR：
- 当BiCGStab出现明显振荡或收敛失败时。
- 矩阵-向量乘法成本极高（TFQMR每步仅需1次乘法）。
- 需要更平滑的收敛曲线（如迭代步数可控的场合）。
6. 扩展与变种
- BiCGStab(ℓ)：
- BiCGStab的推广版本（如BiCGStab2），通过增加多项式阶数（ℓ）提升稳定性，但计算量增大。
- TFQMR：
- 暂无广泛使用的变种，通常作为独立方法使用。
总结
| 特性 | BiCGStab | TFQMR |
|---|---|---|
| 收敛速度 | 通常较快，但可能振荡 | 较平滑，但可能慢 |
| 稳定性 | 中等，依赖问题条件数 | 较高 |
| 计算量/步 | 2次矩阵-向量乘法 | 1次矩阵-向量乘法 |
| 存储需求 | 7个向量 | 6-7个向量 |
| 实现难度 | 简单 | 中等 |
| 最佳场景 | 一般非对称问题 | 高成本矩阵-乘法或需平滑收敛的问题 |
建议：
- 优先尝试BiCGStab，若收敛不稳定再测试TFQMR。对于极端病态问题，可考虑更稳健的方法（如GMRES或IDR(s)）。
参考
COMSOL求解器介绍及其用法总结
Linear Solvers and Preconditioners
COMSOL Iterative Solvers
European Trilinos & Kokkos User Group (EuroTUG)