数据结构与算法：回溯

回溯

先给出一些leetcode算法题，以后遇见了相关题目再往上增加
主要参考代码随想录

2.1、组合问题

• 关于去重：两种写法的性能分析

  需要注意的是：使用set去重的版本相对于used数组的版本效率都要低很多，大家在leetcode上提交，能明显发现。

  原因在回溯算法：递增子序列 (opens new window)中也分析过，主要是因为程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费时的。

  而使用used数组在时间复杂度上几乎没有额外负担！

  使用set去重，不仅时间复杂度高了，空间复杂度也高了，在本周小结！（回溯算法系列三） (opens new window)中分析过，组合，子集，排列问题的空间复杂度都是O(n)，但如果使用set去重，空间复杂度就变成了O(n^2)，因为每一层递归都有一个set集合，系统栈空间是n，每一个空间都有set集合。

  那有同学可能疑惑 用used数组也是占用O(n)的空间啊？

  used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所以空间复杂度是O(n + n)，最终空间复杂度还是O(n)。

1、77. 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

提示：

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= n

class Solution {
public:vector<vector<int>> res;vector<int> mid;void backt(int n,int k,int index){if(mid.size()==k){res.push_back(mid);return ;}for(int i = index;i<=n;i++){mid.push_back(i);backt(n,k,i+1);mid.pop_back();}}vector<vector<int>> combine(int n, int k) {backt(n,k,1);return res;}
};// 使用function函数
// function<返回类型(参数类型1, 参数类型2, ...)> func;
class Solution {
public:vector<vector<int>> combine(int n, int k) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;function<void(int)> backt = [&](int index){if(mid.size() == k){res.push_back(mid);return;}for(int i = index;i<=n;i++){mid.push_back(i);backt(i+1);mid.pop_back();}};backt(1);return res;}
};

• 时间复杂度: O(n * 2^n)
• 空间复杂度: O(n)

2、216. 组合总和 III

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合，且满足下列条件：

• 只使用数字1到9
• 每个数字 最多使用一次

返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
解释:
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9
没有其他符合的组合了。

示例 3:

输入: k = 4, n = 1
输出: []
解释: 不存在有效的组合。
在[1,9]范围内使用4个不同的数字，我们可以得到的最小和是1+2+3+4 = 10，因为10 > 1，没有有效的组合。

提示:

• 2 <= k <= 9
• 1 <= n <= 60

class Solution {
public:vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {vector<vector<int>> res;vector<int>  mid;function<void(int)> backt = [&](int index){if(mid.size() == k && n==0){res.push_back(mid);return;}if(n<0) return;for(int i =index;i<=9;i++ ){n = n-i;mid.push_back(i);backt(i+1);n = n+i;mid.pop_back();}};backt(1);return res;}
};

• 时间复杂度: O(n * 2^n)：每个数有两种可能选或者不选，这里不太理解
• 空间复杂度: O(n)

3、17. 电话号码的字母组合

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

示例 1：

输入：digits = "23"
输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]

示例 2：

输入：digits = ""
输出：[]

示例 3：

输入：digits = "2"
输出：["a","b","c"]

提示：

• 0 <= digits.length <= 4
• digits[i] 是范围 ['2', '9'] 的一个数字

/*思路：主要是回溯，建立起对应关系即可
*/
class Solution {
public:vector<string> letterCombinations(string digits) {unordered_map<int,string> mp;mp[2] = "abc";mp[3] = "def";mp[4] = "ghi";mp[5] = "jkl";mp[6] = "mno";mp[7] = "pqrs";mp[8] = "tuv";mp[9] = "wxyz";vector<string> res;string mid;if(digits.size()==0) return {};function<void(int)> backt = [&](int index){if(mid.size() == digits.size()){res.push_back(mid);return;}for(auto a:mp[digits[index]-'0']){mid.push_back(a);backt(index+1);mid.pop_back();}};backt(0);return res;}
};

4、39. 组合总和

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

提示：

• 1 <= candidates.length <= 30
• 2 <= candidates[i] <= 40
• candidates 的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 40

/*思路：重复选择，找到最后条件即可
*/
class Solution {
public:vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;function<void(int)> backt = [&](int index){if(target == 0){res.push_back(mid);return ;}if(target<0) return;for(int i = index;i<candidates.size();i++){target = target - candidates[i];mid.push_back(candidates[i]);backt(i);mid.pop_back();target = target + candidates[i];}};backt(0);return res;}
};

5、40. 组合总和 II

给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用 一次 。

**注意：**解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

提示:

• 1 <= candidates.length <= 100
• 1 <= candidates[i] <= 50
• 1 <= target <= 30

/*前几道题目都是常规的回溯，这个题目要求去重；去重方法：给原始数据排完序的前提下：每一层的重复的去掉所以有两种方法，：第一种：每一个backt中创建一个set去重第二种：直接通过挨个的下标去重：但是有一点需要注意i是从index+1开始与前一个比较去重if(i>index)这个一定不能忘记if(i>index&&candidates[i] == candidates[i-1] ) continue;这句话是每一层第一个下标肯定是index，又为了和前面有个比较，所以需要i>index:说明前面已经处理这个元素了不用再处理了
*/
class Solution {
public:vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;int len = candidates.size();function<void(int)> backt = [&](int index){if(target == 0){res.push_back(mid);}if(target<0) return;// unordered_set<int> st;for(int i = index;i<len;i++){// if(st.count(candidates[i])) continue;//这句话是每一层第一个下标肯定是index，又为了和前面有个比较，所以需要i>index:说明前面已经处理这个元素了不用再处理了if( i>index&&candidates[i] == candidates[i-1] ) continue;// st.insert(candidates[i]);target-=candidates[i];mid.push_back(candidates[i]);backt(i+1);mid.pop_back();target+=candidates[i];}};sort(candidates.begin(),candidates.end());backt(0);return res;}
};

2.2、子集问题

1、78. 子集

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有元素 互不相同

/*经典子集问题，模板题
*/
class Solution {
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;function<void(int)> backt = [&](int index) {res.push_back(mid);for (int i = index; i < nums.size(); i++) {mid.push_back(nums[i]);backt(i + 1);mid.pop_back();}};backt(0);return res;}
};

2、90. 子集 II

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的

子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10

/*去重子集问题：与去重组合问题一个思路：先排序，每一层的重复元素跳过即可：最后的结果就会去重复：两个方法：第一个：每一层set去重第二个：每一层index+1开始向前判断是否相等
*/class Solution {
public:vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;sort(nums.begin(), nums.end());function<void(int)> backt = [&](int index) {res.push_back(mid);for (int i = index; i < nums.size(); i++) {if (i > index && nums[i] == nums[i - 1])continue;mid.push_back(nums[i]);backt(i + 1);mid.pop_back();}};backt(0);return res;}
};

3、491. 非递减子序列

给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。

数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

示例 1：

输入：nums = [4,6,7,7]
输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]

示例 2：

输入：nums = [4,4,3,2,1]
输出：[[4,4]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 15
• -100 <= nums[i] <= 100

/*思路：还是去重问题：主要是这个无法排序，还需要去重这时候两个相同的元素就不是挨着的了，所以只能用那个set去解决所以：无法排序的使用set去重即可
*/
class Solution {
public:vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;function<void(int)> backt = [&](int index) {if(mid.size()>=2){res.push_back(mid);}unordered_set<int> st;for (int i = index; i < nums.size(); i++) {if(st.count(nums[i])) continue;st.insert(nums[i]);if(mid.empty()){mid.push_back(nums[i]);backt(i + 1);mid.pop_back();}else if(!mid.empty() && mid.back()<=nums[i]){mid.push_back(nums[i]);backt(i + 1);mid.pop_back();}}};backt(0);return res;}
};

2.3、排列问题

1、46. 全排列

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 6
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有整数 互不相同

/*思路：唯一的区别就是不需要坐标了，每一层都从头到尾来一遍加上过了的直接跳过
*/
class Solution {
public:vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> res;vector<int> mid;vector<bool> visited(nums.size(), false);function<void()> backt = [&]() {if (mid.size() == nums.size()) {res.push_back(mid);return;}for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (visited[i])continue;mid.push_back(nums[i]);visited[i] = true;backt();mid.pop_back();visited[i] = false;}};backt();return res;}
};

• 时间复杂度: O(n*n!)：因为有跳过的所以就是阶乘
• 空间复杂度: O(n)

2、47. 全排列 II

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]]

示例 2：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 8
• -10 <= nums[i] <= 10

/*排列问题降重：只要能排序同样是两个思路：但是set更好理解使用相邻坐标判断的时候注意122的问题：需要加上visited的约束
*/class Solution {
public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {vector<vector<int>>res;vector<int> mid;vector<bool> visited(nums.size(),false);function<void()> backt=[&](){if(mid.size()==nums.size()){res.push_back(mid);return;}	// unordered_set<int> st;for(int i = 0;i<nums.size();i++){if(visited[i]) continue;if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !visited[i - 1]) continue;// st.insert(nums[i]);mid.push_back(nums[i]);visited[i] = true;backt();mid.pop_back();visited[i] = false;}};sort(nums.begin(),nums.end());backt();return res;}
};

• 时间复杂度: 最差情况所有元素都是唯一的。复杂度和全排列1都是 O(n! * n) 对于 n 个元素一共有 n! 中排列方案。而对于每一个答案，我们需要 O(n) 去复制最终放到 result 数组
• 空间复杂度: O(n) 回溯树的深度取决于我们有多少个元素

2.3、切割问题

1、131. 分割回文串

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是

回文串

。返回 s 所有可能的分割方案。

示例 1：

输入：s = "aab"
输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]

示例 2：

输入：s = "a"
输出：[["a"]]

提示：

• 1 <= s.length <= 16
• s 仅由小写英文字母组成

/*思路：切割注意左右就行i为右，维护一个左下标就可以了比如aaba      aa     aaba ab   bb新的左下标为 i+1那么截至条件就是左边下标为s.size() = 3	这种题目记住维护左右下标，如何找个例子去模拟一下再去写代码
*/class Solution {
public:bool istar(string s, int left, int right) {while (left <= right) {if (s[left] != s[right])return false;left++;right--;}return true;}vector<vector<string>> partition(string s) {vector<vector<string>> res;vector<string> mid;function<void(int)> backt = [&](int left) {if (left == s.size()) {res.push_back(mid);}for (int i = left; i < s.size(); i++) {if (istar(s, left, i)) {mid.push_back(s.substr(left, i - left + 1));backt(i + 1);mid.pop_back();}}};backt(0);return res;}
};

2、93. 复原 IP 地址

有效 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 '.' 分隔。

• 例如："0.1.2.201" 和 "192.168.1.1" 是 有效 IP 地址，但是 "0.011.255.245"、"192.168.1.312" 和 "192.168@1.1" 是 无效 IP 地址。

给定一个只包含数字的字符串 s ，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能的有效 IP 地址，这些地址可以通过在 s 中插入 '.' 来形成。你 不能 重新排序或删除 s 中的任何数字。你可以按 任何 顺序返回答案。

示例 1：

输入：s = "25525511135"
输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]

示例 2：

输入：s = "0000"
输出：["0.0.0.0"]

示例 3：

输入：s = "101023"
输出：["1.0.10.23","1.0.102.3","10.1.0.23","10.10.2.3","101.0.2.3"]

提示：

• 1 <= s.length <= 20
• s 仅由数字组成

/**模拟一下，细节较多但是还是左右的下标去截取
*/
class Solution {
public:vector<string> restoreIpAddresses(string s) {vector<string> res;string mid;function<void(int,int)> backt = [&](int left,int cnt) {if (cnt==4&&left == s.size()) {mid.pop_back();res.push_back(mid);return;}if(cnt>4) return;for (int right = left; right < s.size(); right++) {string cur;string precur;cur = s.substr(left, right - left + 1);if(cur.size()>3) continue;int cur_num = stoi(cur);if ((cur.size()>1&&cur[0] == '0') || cur_num > 255)continue;precur = mid;mid += cur;mid.push_back('.');backt(right + 1,cnt+1);mid = precur;}};backt(0,0);return res;}
};