高中数学联赛模拟试题精选学数学系列第3套几何题

$△ABC$ 的内切圆 $\odot I$ 分别与边 $BC$, $CA$, $AB$ 相切于点 $D$, $E$, $F$, $D{D}^{\prime }$ 为 $\odot I$ 的直径, 过圆心 $I$ 作直线 $A{D}^{\prime }$ 的垂线 $l$, 直线 $l$ 分别与 $DE$, $DF$ 相交于点 $M$, $N$. 求证: $IM=IN$ . (《高中数学联赛模拟试题精选》“学数学”系列第3套几何题)

证明: 先证明: $△IME\sim △A{D}^{\prime }E$:

$\angle AE{D}^{\prime }=\angle IDE=\angle IEM$.

$A{D}^{\prime }\perp IM$, $IE\perp AE$, 所以 $\angle D^{\prime }AE=\angle MIE$.

所以 $△IME\sim △A{D}^{\prime }E$.

同理, $△INF\sim △A{D}^{\prime }F$.

$IM/IE=A^{\prime }D/AE=A^{\prime }D/AF=IN/IF$.

所以 $IM=IF$.

证毕.