超稳定性理论

为了更好的理解后面如何利用超稳定性理论来设计MRACS，本篇先对超稳定性理论做一个介绍。

1、理论介绍

在超稳定性理论中，核心的系统结构如下：

其包含一个线性的前向回路$G(s)$和一个非线性的反馈回路$\phi (v)$ （需要注意的是，这里输入$r=0$，下一篇介绍的利用超稳定性理论设计MRACS就是将误差的状态方程拆写成一个线性前向和一个非线性反馈） 。

其中，线性前向回路的状态方程为
$$\begin{array}{c}\dot{x}=Ax+Bu=Ax-Bw\\ v=Cx+Ju=Cx-Jw\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

非线性反馈回路的方程为
$$\begin{array}{c}w=\phi (v,t,\tau ),\tau \le t\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

当上述闭环系统为超稳定时，其充要条件是，
（1）线性前向回路的传递函数矩阵
$$\begin{array}{c}G(s)=J+C(sI-A{)}^{-1}B\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
为正实传递函数矩阵。
（2）非线性反馈回路满足波波夫不等式：
$$\begin{array}{c}\eta (t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}{w}^T(\tau )v(\tau )d\tau \ge 0,t_1\ge t_0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
或者满足
$$\begin{array}{c}\eta (t_0,t_1)={\int }_{t_0}^{t_1}{w}^T(\tau )v(\tau )d\tau \ge -r_0^2,t_1\ge t_0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

2、系统的正实性

前面介绍到系统超稳定，其中一个要求是线性前向回路的闭环传递函数矩阵要是正实函数矩阵，这一节将介绍何为正实函数、正实函数矩阵和正实系统以及如何判断。

2.1 正实函数

从上面定义可以知道，严格正实函数于正实函数的区别就在于虚轴上是否有极点。对于严格正实函数在虚轴上没有极点，即对任意$w$都有$Re[h(jw)]>0$。

例题：判断$W(s)=\frac{b_{1}s+b_0}{s^2+a_{1}s+a_0}$，其中$a_0,a_1,b_0,b_1$均为正实数，$W(s)$的正实性。

假设分母的两个根为$s_0,s_1$，根据韦达定理可得
$$\begin{gathered} s_0{s}_1=a_0>0 \\ {s}_0+s_1=-a_1<0 \\ \Rightarrow s_0<0,s_1<0 \end{gathered}$$
可得，$W(s)$在右半闭平面没有极点。接下来判断$Re[h(jw)]$
$$\begin{gathered} W(jw)=\frac{b_{1}jw+b_0}{(jw{)}^2+a_{1}jw+a_0}=\frac{b_{1}jw+b_0}{a_{1}jw+a_0-w^2} \\ =\frac{(b_{1}jw+b_0)(a_0-w^2-a_{1}jw)}{(a_0-w^2{)}^2+(a_{1}w{)}^2} \\ =\frac{a_0{b}_0+(a_1{b}_1-a_0{b}_0)w^2+jw[b_1(a_0-w^2)-a_1{b}_0]}{(a_0-w^2{)}^2+(a_{1}w{)}^2} \end{gathered}$$
$$Re[h(jw)]=\frac{a_0{b}_0+(a_1{b}_1-a_0{b}_0)w^2}{(a_0-w^2{)}^2+(a_{1}w{)}^2}$$
可得，当$a_1{b}_1\ge a_0{b}_0$时，$Re[h(jw)]>0$，$W(s)$为严格正实函数；当$a_1{b}_1<a_0{b}_0$时，$W(s)$不是正实函数。

2.2 正实函数矩阵

若$A,B,C,D$为$H(s)$的最小实现，相应的系统方程为
$$\begin{array}{c}\dot{x}=Ax+Bu\\ v=Cx+Ju\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
传递函数矩阵为
$$\begin{array}{c}H(s)=J+C(sI-A{)}^{-1}B\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
$H(s)$为正实函数矩阵的充要条件是，存在实矩阵$K,L$和实正定对称矩阵$P$，使得方程
$$\begin{array}{c}PA+A^{T}P=-L{L}^T\\ B^{T}P+K^T{L}^T=C\\ K^{T}K=J+J^T\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
成立，且当
$$\begin{array}{c}PA+A^{T}P=-L{L}^T=-Q\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
且$Q=Q^T>0$时，$H(s)$为严格正实函数矩阵。

2.3 正定积分核

2.4 正性系统

对于$eq(5)$描述的系统，其脉冲响应矩阵为$K(t-\tau )$，若
$$\begin{array}{rl}\eta (0,t_1)& ={\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}(t)\mathbf{v}(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{t_1}{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}(t)\mathbf{u}(t)\mathrm{d}t=\\ & {\int }_0^{t_1}{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}(t)\left[{\int }_0^t\mathbf{K}(t-\tau )\mathbf{u}(\tau )\mathrm{d}\tau \right]\mathrm{d}t⩾-r_0^2,r_0^2<\infty \end{array}$$
成立，则该系统称为正性系统。

以下几个结论相互等价
（1）$eq(5)$描述的系统是正性系统；
（2）$eq(6)$描述的$H(s)$为正实传递函数矩阵；
（3）存在实矩阵$K,L$和实正定对称矩阵$P$，使得方程
$$\begin{array}{c}PA+A^{T}P=-L{L}^T\\ B^{T}P+K^T{L}^T=C\\ K^{T}K=J+J^T\end{array}$$
成立。

3、总结

本篇介绍了超稳定性理论以及与超稳定性相关的系统正实性相关概念，下一篇将介绍如何利用超稳定性理论来设计MRACS。