从遍历序列构造二叉树：前序+中序与中序+后序的递归解法详解

1. 问题背景

二叉树的遍历方式包括前序（根-左-右）、中序（左-根-右）和后序（左-右-根）。给定其中两种遍历序列，能否唯一确定一棵二叉树的结构？

• 前序+中序：可以唯一确定二叉树。
• 中序+后序：可以唯一确定二叉树。
• 前序+后序：无法唯一确定（存在多种可能性）。

本文详细讲解如何通过 前序+中序 和 中序+后序 两种组合构造二叉树。

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2. 核心思路

两种问题的解法均基于 递归分治，核心步骤如下：

1. 确定根节点

   • 前序序列的第一个元素为根节点。
   • 后序序列的最后一个元素为根节点。

2. 分割左右子树

   • 利用根节点在中序序列中的位置，将中序序列分割为左子树和右子树。
   • 根据中序序列的左右子树长度，确定前序或后序序列的子树区间。

3. 递归构建子树

   • 对左子树和右子树重复上述过程，直到无法分割。

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3. 从前序与中序遍历序列构造二叉树

3.1 递归分治思路

• 根节点：前序序列的起始元素 preorder[preStart]。
• 中序分割：根据根节点在中序序列中的位置 rootIndex，分割左子树和右子树。
• 前序分割：
  • 左子树的前序区间：preStart + 1 至 preStart + leftSubtreeSize
  • 右子树的前序区间：preStart + leftSubtreeSize + 1 至 preEnd

3.2 代码实现与注释

class Solution {public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {// 哈希表存储中序序列的值与索引，便于快速查找根节点位置Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>();for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {inorderMap.put(inorder[i], i);}return buildTreeHelper(preorder, 0, preorder.length - 1, inorder, 0, inorder.length - 1, inorderMap);}private TreeNode buildTreeHelper(int[] preorder, int preStart, int preEnd, int[] inorder, int inStart, int inEnd, Map<Integer, Integer> inorderMap) {// 终止条件：区间无效时返回nullif (preStart > preEnd || inStart > inEnd) return null;// 根节点为前序序列的起始元素int rootVal = preorder[preStart];TreeNode root = new TreeNode(rootVal);// 获取根节点在中序序列中的位置int rootIndex = inorderMap.get(rootVal);int leftSubtreeSize = rootIndex - inStart; // 左子树节点数量// 递归构建左子树root.left = buildTreeHelper(preorder, preStart + 1,                   // 左子树前序起始preStart + leftSubtreeSize,     // 左子树前序结束inorder, inStart,                        // 左子树中序起始rootIndex - 1,                  // 左子树中序结束inorderMap);// 递归构建右子树root.right = buildTreeHelper(preorder, preStart + leftSubtreeSize + 1, // 右子树前序起始preEnd,                         // 右子树前序结束inorder, rootIndex + 1,                  // 右子树中序起始inEnd,                          // 右子树中序结束inorderMap);return root;}
}

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4. 从中序与后序遍历序列构造二叉树

4.1 递归分治思路

• 根节点：后序序列的末尾元素 postorder[postEnd]。
• 中序分割：根据根节点在中序序列中的位置 rootIndex，分割左子树和右子树。
• 后序分割：
  • 左子树的后序区间：postStart 至 postStart + leftSubtreeSize - 1
  • 右子树的后序区间：postStart + leftSubtreeSize 至 postEnd - 1

4.2 代码实现与注释

class Solution {public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {// 哈希表存储中序序列的值与索引Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>();for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {inorderMap.put(inorder[i], i);}return buildTreeHelper(postorder, 0, postorder.length - 1, inorder, 0, inorder.length - 1, inorderMap);}private TreeNode buildTreeHelper(int[] postorder, int postStart, int postEnd,int[] inorder, int inStart, int inEnd,Map<Integer, Integer> inorderMap) {// 终止条件：区间无效时返回nullif (postStart > postEnd || inStart > inEnd) return null;// 根节点为后序序列的末尾元素int rootVal = postorder[postEnd];TreeNode root = new TreeNode(rootVal);// 获取根节点在中序序列中的位置int rootIndex = inorderMap.get(rootVal);int leftSubtreeSize = rootIndex - inStart; // 左子树节点数量// 递归构建左子树root.left = buildTreeHelper(postorder, postStart,                          // 左子树后序起始postStart + leftSubtreeSize - 1,     // 左子树后序结束inorder, inStart,                             // 左子树中序起始rootIndex - 1,                       // 左子树中序结束inorderMap);// 递归构建右子树root.right = buildTreeHelper(postorder, postStart + leftSubtreeSize,         // 右子树后序起始postEnd - 1,                         // 右子树后序结束（排除根节点）inorder, rootIndex + 1,                      // 右子树中序起始inEnd,                              // 右子树中序结束inorderMap);return root;}
}

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5. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
  每个节点被访问一次，哈希表查询操作 O(1)。
• 空间复杂度：O(n)
  哈希表存储中序序列 O(n)，递归栈深度在最坏情况下为 O(n)（树退化为链表）。

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6. 总结

1. 核心共性

   • 通过根节点分割中序序列，确定左右子树的区间。
   • 递归处理左右子树时，需精准计算前序或后序序列的子树区间。

2. 关键区别

   • 根节点位置：前序序列首元素 vs. 后序序列末元素。
   • 区间计算：前序需跳过根节点后分割，后序需排除末元素后分割。

3. 扩展思考

   • 如何验证构建的二叉树是否正确？
     重新生成前序/中序/后序遍历序列，与原输入比对。
   • 如果遍历序列中存在重复值，上述方法是否有效？
     无效，因为哈希表无法唯一确定根节点位置。

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题目链接

• 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树
• 106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树

通过系统化的递归分治思想，可以高效解决二叉树构造问题。理解区间分割的数学逻辑是掌握此类问题的关键！