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《考研408数据结构》第七章（6.1~6.3图的概念、存储方式、深/广度遍历）复习笔记

news 2025/10/30 11:01:44

一、图的定义

【基本概念】

1、【无向图】、【有向图】、【简单图和多重图】

【无向图】
【有向图】
【简单图和多重图】

2、【子图】、【生成子图】

只要记住：
【子图】含部分顶点、【生成子图】含全部顶点
然后它两可以没有一些边，但绝对不能有【空边（没有顶点可以指向）】

3、【顶点的度】、【路径】

【顶点的度】
【路径】、【回路】、【路径长度】
一点到另一点的【路径】起码得有边！！！（想象实际生活：你A岛到 B岛都没修路，哪来的路径？）
无向图，A点到B点只要有边，A,B、B,A都算路径；
而有向图，路径只能和边的方向一样，<A,B>的路径只有A,B
【回路】就是这条路径【开头=结尾】，也就是【起点绕了一圈回到自己】
【路径长度】和【点到点距离】
【路径长度】顾名思义，起点到终点所经过几条边
【距离】就是取两点【最短路径】，【没有路径】就取【无穷 ∞】

【连通、连通图、连通分量】

【连通、连通图、连通分量】概念全部对应【无向图】
【强连通、强连通图、强连通分量】概念全部对应【有向图】
；
1、具体【连通】和【强连通】概念
2、【连通图】和【强连通图】概念
注意【连通图最少边】、【非连通图最多边】计算
【强连通图最少边】计算
3、【连通分量】和【强连通分量】

【生成树】、【生成森林】

【生成树】就是【极小连通图】
其实【生成树的边数】就和前面学得【连通图的最少边情况】一样
这样的实际意义就可以理解为：一个城乡修建道路图，有这么多种修路方案，每个修路方案都保证只用修最少的路就能让各个地点连通，在这基础上加上权值的话，就可以选出最优方案了
【生成森林】就是【各个连通分量——>变成生成树】

【边的权、网、带权路径长度】

【几种特殊形态的图】

【完全图】
【稀疏图和稠密图】
【树和有向树】

二、图的存储方式种类

1、邻接矩阵法（最常考）

1、先了解【无向图】和【有向图】怎么用【邻接矩阵】表示（写法）
注意代码可以看一眼就行，以后要练大题的话再专门学一下就行
2、邻接矩阵【查一个顶点的度】
【无向图】：该顶点的1行或1列的非零元素个数；
【有向图】：【入度】是1列的非零元素；【出度】是1行的非零元素
【时间复杂度】：O(n) 或 O(|V|)
3、邻接矩阵的【空间复杂度】：O(n^2)
4、【带权图（网）】的邻接矩阵表示：就是标上了确切数值，而不只是0、1
5、（不常考）还有一种邻接矩阵是【A[i][j]^n】
【n】就是表示这个邻接矩阵里，记录的【值1】表示【这两点的路径是n】
记录的【值0】表示【这两点的路径不是n】或【这两点没有边】
【记忆特点】
邻接矩阵使用的是【顺序存储】（一维数组、二维数组）
【空间复杂度高：O(n^2)】
而且【空间跟 “边” 没有关系！！！】
（注意区分：时间复杂度是O(n)）
不适合存储【稀疏图】、适合【稠密图】
大量顶点之间没有边，却还要用【0 或无穷】来存储，占用空间
而且【增加 / 删除节点】麻烦！！！需要修改整个矩阵结构

2、邻接表法（次常考）

1、先了解【无向图】和【有向图】怎么用【邻接表】表示（写法）
注意代码可以看一眼就行，以后要练大题的话再专门学一下就行
另外这个图可以结合《计网第4章：路由算法》的迪杰斯特拉算法，一样的表示
2、邻接表的【空间复杂度】：
无向图：O(|V| + 2|E|)
有向图：O(|V| + |E|)
3、邻接表【查一个顶点的度】
【无向图】：遍历该顶点后的【边链表节点】；
【有向图】：
【出度】是遍历该顶点的【边链表节点】
【入度】是遍历整个【顶点链表】，再把每个节点的【边链表节点】都遍历，找有没有【谁的边节点】是【自己】
4、重要！！！
【邻接表】表示形式不唯一！！！边链表的节点顺序不唯一！！！
【邻接矩阵】表示形式唯一！！！只有一种形式！！！
【记忆特点】
邻接表使用的是【链式存储】（单链表）
【空间复杂度低】：无向O(|V| + 2|E|)、有向O(|V| + |E|)
适合存储【稀疏图】
【出度方便】、【入度麻烦】！！！！

3、十字链表法（不常考，时间紧的可以略看一眼）

【记住】：
1、表示的是【有向图】！！！！！！！！！！！！！！
2、它的每个顶点节点后面的单链表，指的是【顶点的出弧表】！！！
可以发现每个顶点后的【弧链表】每个节点的【头】，都是【此顶点】
表示的意思：这就是【这个顶点】的【出度的弧】
比如：V1的编号0，他出去的弧有<V1, V2>(0 , 1)、<V1, V3>(0 , 2)
3、每个顶点的第二格指【该顶点的入弧】
只需要把【弧节点表】的节点里，【第二格】是【该顶点】的全连起来就行
比如：图片里我用颜色标注了，同颜色的都连起来了，连这些节点的编号，都是同一顶点

4、邻接多重表法（不常考，时间紧的可以略看一眼）

【记住】：
1、表示的是【无向图】！！！！！！！！！！！！！！
2、它的每个顶点节点后面的单链表，指的是【连了该顶点的边】！！！
可以发现每个顶点后的【边链表】每个节点的【头】，都是【此顶点】
表示的意思：这就是连着【这个顶点】的【边】
比如：V1的编号0，他出去的弧有<V1, V2>(0 , 1)、<V1, V4>(0 , 3)
3、剩下所有节点的【空格】，只要前面编号一样，都连起来
比如：图片里我用颜色标注了，同颜色的都连起来了，连这些节点的编号，都是同一顶点

5、总结（各个存储方式对比）

三、图的操作

理解一下就行，黄色部分记住，大题选择题都会用到

四、图的遍历

1、广度搜索优先（BFS）

带入【树的层序遍历】来理解【图的广度优先搜索】
就是：每次都把一个顶点的邻近的点都遍历一遍，再到下一个顶点
1、具体怎么做？核心就三步：（和树层序遍历一样，要借助队列）
2、【空间复杂度】
3、【时间复杂度】
【邻接矩阵】形式存储的【时间复杂度】
【邻接表】形式存储的【时间复杂度】
4、【广度优先生成树】
要记住【邻接矩阵】和【邻接表】两种存储方式的区别，前面讲过的
5、【广度优先生成森林】
简单看一下，理解就行
；
；
【总结】