数据库系统概论（六）详细讲解关系代数
- 前言
- 一、什么是关系代数？
- 二、传统的集合运算
- 1. 并（Union）
- 2. 差（Difference）
- 3. 交（Intersection）
- 4. 笛卡尔积（Cartesian Product）
- 三、专门的集合运算
- 1. 选择（Selection）
- 2. 投影（Projection）
- 3. 连接（Join）
- ① 非等值连接
- ② 等值连接
- ③ 自然连接
- ④ 外连接（保留未匹配的行）
- 4. 除（Division）
- 四、总结
前言
- 在数据库系统概论的学习进程中，我们已逐步解锁数据库的关键领域，从基础概念的积淀到关系模型数据结构的深度解析，每一篇都在为构筑完备的数据库知识大厦奠基。
- 作为系列的第六篇，本文将深度钻研关系代数 —— 这一数据库操作的形式化语言。它不仅是破解数据库查询与数据操作奥秘的核心密钥，更是精通数据库设计、提升查询优化能力的关键阶梯，将带领我们进一步洞悉数据库高效运作的数据处理之道。
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一、什么是关系代数？
简单理解：关系代数是数据库的“数学语言”，用来定义如何对数据表（二维表格）进行操作。
核心思想：通过各种“运算符”对表进行“行”或“列”的处理，得到新表。
二、传统的集合运算
前提：参与运算的表必须“相容”
即 **列数相同，且对应列的数据类型一致**（比如都是“姓名”“年龄”这样的列）。
1. 并（Union）
作用：合并两个表的所有数据，重复数据只保留一份。
符号：R∪S
例子：
并运算结果（表A∪表B）：
2. 差（Difference）
作用：从表A中删除表B中存在的数据。
符号： ( R - S )
例子：表A - 表B（只保留表A有、表B没有的数据）：
3. 交（Intersection）
作用：找出两个表中完全相同的数据。
符号： ( R ∩ S )
例子：表A∩表B（同时在表A和表B中出现的数据）：
表A（学生选课表A）
表B（学生选课表B）
交运算结果（表A ∩ 表B）
4. 笛卡尔积（Cartesian Product）
作用：将两个表的每一行两两组合，生成一个大表。
符号： ( R × S )
例子：
笛卡尔积结果（表A×表B，共 ( 2×2=4 ) 行）：
| 姓名 | 性别 | 课程名 |
|---|
| 张三 | 男 | 数学 |
| 张三 | 男 | 英语 |
| 李四 | 女 | 数学 |
| 李四 | 女 | 英语 |
三、专门的集合运算
1. 选择（Selection）
作用：按条件筛选表中的“行”（筛选后行数可能减少）。
符号：
例子：从“学生表”中选出“年龄>18”的学生：
选择结果
2. 投影（Projection）
作用：选择表中的“列”，并去除重复行（筛选后列数可能减少）。
符号： 
例子：从“学生表”中提取“姓名”和“性别”列：
投影结果
3. 连接（Join）
作用：按条件将两个表“拼接”成一个表，重点是“如何拼接”。
① 非等值连接
条件：用“≠、>、<”等非等号条件拼接。
例子：表A（学生成绩）和表B（及格线）按“成绩>及格分”连接：
结果（成绩>及格分，即80>60）：
关系 ( R )
| ( A ) | ( B ) | ( C ) |
|---|
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) |
| ( a_2 ) | ( b_4 ) | ( 12 ) |
关系 ( S )
| ( B ) | ( E ) |
|---|
| ( b_1 ) | ( 3 ) |
| ( b_2 ) | ( 7 ) |
| ( b_3 ) | ( 10 ) |
| ( b_3 ) | ( 2 ) |
| ( b_5 ) | ( 2 ) |
非等值连接 （E>C）
| ( A ) | ( R.B ) | ( C ) | ( S.B ) | ( E ) |
|---|
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) | ( b_2 ) | ( 7 ) |
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) | ( b_3 ) | ( 10 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) | ( b_2 ) | ( 7 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) | ( b_3 ) | ( 10 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) | ( b_3 ) | ( 10 ) |
② 等值连接
条件：用“=”拼接，要求两表有相同列名（或不同列名但值相等）。
例子：表A和表B按“课程=课程名”连接（假设列名不同但含义相同）：
结果（课程=课程名）：
关系 ( R )
| ( A ) | ( B ) | ( C ) |
|---|
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) |
| ( a_2 ) | ( b_4 ) | ( 12 ) |
关系 ( S )
| ( B ) | ( E ) |
|---|
| ( b_1 ) | ( 3 ) |
| ( b_2 ) | ( 7 ) |
| ( b_3 ) | ( 10 ) |
| ( b_3 ) | ( 2 ) |
| ( b_5 ) | ( 2 ) |
等值连接 (R.B=S.B)
| ( A ) | ( R.B ) | ( C ) | ( S.B ) | ( E ) |
|---|
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) | ( b_1 ) | ( 3 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) | ( b_2 ) | ( 7 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) | ( b_3 ) | ( 10 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) | ( b_3 ) | ( 2 ) |
③ 自然连接
特点：自动去除重复列名，是“等值连接的优化版”（要求两表有至少一个同名列）。
例子：表A和表B都有“课程”列，自然连接后合并该列：
结果（自动合并“课程”列）：
关系 ( R )
| ( A ) | ( B ) | ( C ) |
|---|
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) |
| ( a_2 ) | ( b_4 ) | ( 12 ) |
关系 ( S )
| ( B ) | ( E ) |
|---|
| ( b_1 ) | ( 3 ) |
| ( b_2 ) | ( 7 ) |
| ( b_3 ) | ( 10 ) |
| ( b_3 ) | ( 2 ) |
| ( b_5 ) | ( 2 ) |
自然连接 R组的B列与S组的B列如果相等则连接
| ( A ) | ( B ) | ( C ) | ( E ) |
|---|
| ( a_1 ) | ( b_1 ) | ( 5 ) | ( 3 ) |
| ( a_1 ) | ( b_2 ) | ( 6 ) | ( 7 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) | ( 10 ) |
| ( a_2 ) | ( b_3 ) | ( 8 ) | ( 2 ) |
④ 外连接（保留未匹配的行）
- 左外连接：保留左表所有行，右表无匹配的行用NULL填充。
- 右外连接：保留右表所有行，左表无匹配的行用NULL填充。
- 全外连接：保留左右表所有行，无匹配的行用NULL填充（SQL中常用，关系代数中较少提）。
例子：左表A（学生）和右表B（选课），左外连接保留所有学生，无论是否选课：
左外连接结果：
表A
表B
右外连接结果（保留右表B所有行，左表A无匹配填 NULL）
4. 除（Division）
作用：从“被除数表”中找出“完全包含除数表所有数据”的行。
前提：
- 被除数表（表A）需包含除数表（表B）的所有列，且还有额外列（如“学生”列）。
- 结果是“额外列”中，满足“与除数表所有行相关”的值。
例子：
| 表A（学生选课，被除数） | 学生 | 课程 |
|---|
| 张三 | 数学 |
| 张三 | 英语 |
| 李四 | 数学 |
| 王五 | 英语 |
除运算逻辑：
- 表B要求“必须选数学”。
- 表A中每个学生的选课需包含表B的所有课程（即必须有“数学”）。
- 筛选出“学生”列中，满足条件的学生：
除运算结果（表A ÷ 表B）：
四、总结
| 分类 | 运算符 | 作用描述 | 核心操作对象 | 例子关键词 |
|---|
| 传统集合运算 | 并（∪） | 合并两表，去重 | 整表 | 合并选课学生 |
| 差（-） | 表A减表B | 整表 | 找出表A独有的数据 |
| 交（∩） | 找出两表共同数据 | 整表 | 同时出现在两表中的学生 |
| 笛卡尔积（×） | 两两组合所有行 | 整表 | 学生×课程生成所有可能组合 |
| 专门集合运算 | 选择（σ） | 按条件筛选行 | 行（筛选） | 选出年龄>18的学生 |
| 投影（π） | 选择列，去重 | 列（筛选） | 提取姓名和性别列 |
| 连接（⋈） | 按条件拼接两表 | 行（拼接） | 等值连接、自然连接、外连接 |
| 除（÷） | 找出包含除数所有行的被除数数据 | 行（匹配） | 找出选了所有必选课程的学生 |
以上就是这篇博客的全部内容，下一篇我们将继续探索更多精彩内容。
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