初等变换 线性代数

初等变换

介绍了三种初等变换的操作。

初等矩阵

初等矩阵是干嘛的呢？实际上初等矩阵就是我们矩阵的初等操作，每一个对矩阵的初等变换操作都相当于乘上一个初等矩阵。

左乘初等矩阵就相当于对行进行初等操作，右乘则相当于对列进行初等操作。遵循“左行右列”的原则。

初等矩阵的性质与重要公式

初等变换求逆矩阵

我们知道我们上一章学过了一个求逆矩阵的方法是通过伴随矩阵求，还有就是通过定义假设求。现在我们又学了这一种更加常用的方法，就是通过初等变换求逆矩阵。

先说一下条件吧，只要要求的矩阵是可逆的，那么就可以用我们这种方法求。另外这个的原理就是因为我们所有的可逆矩阵经过初等变换之后就一定能变成E矩阵，也就是我们蓝色的第一个公式，如果E矩阵也经过同样的变换就会变成其逆矩阵（见后两个公式）。

例题：

行阶梯形矩阵

分块矩阵的逆

这个在我们上一篇的例题里求过一回，这次我们正式讲一下。

例题

本题要求B的逆矩阵，先想一想有几个方法，第一个是定义，第二个是性质，第三个是初等变换。首先不是定义，因为如果用定义算的话这个阶数太多太复杂了，其次性质方面，我们可以排除用伴随矩阵，再一个初等变换，这个的话我们不知道具体的B是什么，所以这题的用的方法可能是通过变来求得B的逆。

然后是“翻译”，先看目标，显然目标不需要翻译了。再看条件，条件说A的矩阵型号，还有就是A可以通过初等变换变成B，我们先把这句翻译成数字语言就是：Q*A=B，Q是初等矩阵。然后再来，题目告诉了我们A的逆，我们现在只有这一个式子，这样的话就要想办法把这个式子变成含有A的逆和B的逆的式子，于是我们对式子进行变换，变换的时候要注意左乘和右乘。

大家写完上面那题按照同样的思路来写下这个题练练手吧~

很明显的分块矩阵的形式，怎么解不用我多说了吧~

首先是证明可逆，因为我们这里肯定是一个方阵（长宽都是s+r），所以只要证明|A|不为0就行，然后就是证逆矩阵了。

首先是联想知识点，初等变换肯定是不行，因为这里是抽象矩阵，性质和定义可以考虑一下。

接来下是翻译，其实我们只有一个条件，这个条件也不能被换成其他的，算是给好了。

但是这样结合我们之前的思考，我们可以想到好像只能用定义做了，因为性质的话需要有一些其他的表达式才行。定义的话就是使用我们之前说的“假设法”