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动态规划LeetCode-1049.最后一块石头的重量Ⅱ

news 2025/9/9 10:57:03

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 100

写这题之前可以先去写一下LeetCode的416.分割等和子集，代码和思路基本一致，只是如何把这题1049. 最后一块石头的重量Ⅱ如何转换为分割等和子集
我们看一下题目并想一想，本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
且和416.分割等和子集非常相似，可以先去写416再来写本题，416.分割等和子集思路可以看我的这篇文章动态规划LeetCode-416.分割等和子集-CSDN博客

01背包问题
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
01背包一维滚动数组递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

这题不过多讲解，因为思路和416.分割等和子集差不多，主要是最后返回值的那里，分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。因为我们在计算target = sum/2的时候是向下取整的，所以sum - dp[target] >= dp[target];
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

动规五部曲（dp含义、递推公式、初始化、遍历顺序、打印数组）

dp含义：dp[j]表示容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

递推公式：本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。所以
dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]]+stones[i]）;

初始化：背包容量为j=0，物品最大价值为dp[0]=0这个好理解，那其他下标初始化也为0是为什么呢，因为dp数组在递推的过程中取得最大的价值，把下标初始成负无穷小，就不会被初始值覆盖，这里初始为0即可，也是一样的。

遍历顺序：
这里是用一维滚动数组来解决，所以物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，然后题目说物品i只能放一次，所以且内层for循环倒序遍历！
因为倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

打印数组：当遇到疑惑或者提交错误时，打印数组出来比较快速的看看哪一步有错。

以下是我在力扣c语言提交的代码，仅供参考：
一维滚动数组：

int lastStoneWeightII(int* stones, int stonesSize) {  
    //给出容量和数值大小范围，求的还是一半，所以数组大小为30*100/2+1
  int dp[1501]={0};
  int sum = 0;int target = 0;

  //初始化
  memset(dp,0,sizeof(dp));
  dp[0] = 0;
  
  for(int i = 0;i<stonesSize;i++)
  {
    sum += stones[i];
  }
  target = sum / 2;

  //先遍历物品
  for(int i = 0;i<stonesSize;i++)
  {
    //再遍历背包，且是倒序遍历，保证物品i只被放入一次！
    for(int j = target;j>=stones[i];j--)
    {
        //01背包递推公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        //本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值
        dp[j] = dp[j] > dp[j-stones[i]]+stones[i] ? dp[j] : dp[j-stones[i]]+stones[i];
    }
  }

  //分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。
  //因为我们在计算target = sum/2的时候是向下取整的，所以sum - dp[target] >= dp[target];
  //那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
  return sum - dp[target] - dp[target];
}

这里也给出用二维数组求解的代码：

int lastStoneWeightII(int* stones, int stonesSize) {  
    int sum = 0;
    for(int i = 0;i<stonesSize;i++)
    {
        sum += stones[i];
    }
    int target = sum / 2;
    int dp[stonesSize+1][target+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = stones[0];i<=target ;i++)
    {
        dp[0][i] = stones[0];
    }
    for(int i = 1;i<stonesSize;i++)
    {
        for(int j = 0;j<=target;j++)
        {
            if(j < stones[i])
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
            else
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-stones[i]]+stones[i]) ? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
    }

    return (sum-dp[stonesSize-1][target]) - dp[stonesSize-1][target];