一个含有 n 个顶点的连通且无环的简单无向图，在其邻接矩阵存储结构中共有几个零元素？
🧠 思路解析：
1. 图的类型：
- 连通 → 任意两点可达
- 无环 → 没有回路
- 简单 → 没有自环、没有重边
👉 这就是一棵树（Tree）！
2. 树的边数：
边数 = n - 1
3. 邻接矩阵总元素个数：
n * n = n^2
4. 非零元素个数：
无向图中一条边在邻接矩阵中会对应两个位置（对称），所以：
非零元素 = 2 * (n - 1)
5. 零元素个数：
零元素 = n^2 - 2(n - 1) = n^2 - 2n + 2
✅ 举例说明（以 (n = 5) 为例）
构造一棵 5 个顶点的树，设边为：
1 - 2
|
3
|
4 - 5
边数 = 4（符合 n - 1）
邻接矩阵如下（对称矩阵，1表示有边）：
1 2 3 4 5------------
1 | 0 1 1 0 0
2 | 1 0 0 0 0
3 | 1 0 0 1 0
4 | 0 0 1 0 1
5 | 0 0 0 1 0
- 总共元素数：( 5^2 = 25 )
- 边数：4 条 → 非零元素 = (2 * 4 = 8)
- 所以零元素个数 = (25 - 8 = 17)
验证公式：
n^2 - 2(n - 1) = 25 - 8 = 17 ✅
⚠️ 容易出错的点：
| 错误思路 | 为什么错 |
|---|---|
| 减去主对角线上的0 | 主对角线上的0本来就算在零元素内，不需要特判 |
| 只计算边数没乘2 | 邻接矩阵中每条边占两个位置 |
| 记成有向图 | 无向图邻接矩阵是对称的，需要双倍计数 |
📚 知识拓展
1. 邻接矩阵 vs 邻接表：
| 存储结构 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 邻接矩阵 | (O(n^2)) | 稠密图 |
| 邻接表 | (O(n + m)) | 稀疏图（如树） |
树是稀疏图，一般用邻接表更节省空间。
2. 与图的特性相关的公式：
- 有 (n) 个顶点和 (n - 1) 条边且连通 → 一定是树。
- 无环图最多有 (n - 1) 条边。
- 邻接矩阵中非零元素数量 = 边数 × 2（无向图）
3. 练习题：
题目：一个有 10 个节点的树，其邻接矩阵中零元素个数是多少？
解法：
- 总元素：100
- 边数：9 → 非零元素：18
- 零元素：100 - 18 = 82
✅ 答案：82