【差分隐私相关概念】瑞丽差分隐私（RDP）命题10

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命题10证明中的最后一个不等号成立，关键在于将事件$A$上的积分与Rényi散度$D_{\alpha }(P\parallel Q)$的定义联系起来，并通过积分放缩得到上界。具体推导如下：

1. Rényi散度的定义：
   $D_{\alpha }(P\parallel Q)=\frac{1}{\alpha -1}\log \int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx$。
   由此可得：
   $$\int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx=\exp \left((\alpha -1)D_{\alpha }(P\parallel Q)\right).$$

2. 事件$A$上的积分放缩：
   由于事件$A\subseteq \mathcal{R}$是支撑集的子集，有：
   $${\int }_{A}P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx\le \int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx=\exp \left((\alpha -1)D_{\alpha }(P\parallel Q)\right).$$

3. 代入不等式：
   原证明通过赫尔德不等式得到：
   $${\int }_{A}P(x)dx\le {\left({\int }_{A}P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\cdot Q(A{)}^{\frac{\alpha -1}{\alpha }}.$$
   将步骤2的放缩代入，得到：
   $${\left({\int }_{A}P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\le \exp \left(D_{\alpha }(P\parallel Q)\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }\right).$$

4. 合并结果：
   结合上述，最终不等式为：
   $$P(A)\le \exp \left(D_{\alpha }(P\parallel Q)\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }\right)\cdot Q(A{)}^{\frac{\alpha -1}{\alpha }},$$
   即：
   $$P(A)\le {\left(\exp (D_{\alpha }(P\parallel Q))\cdot Q(A)\right)}^{\frac{\alpha -1}{\alpha }}.$$

结论：最后一个不等号成立的原因是，将事件$A$上的积分${\int }_A{P}^{\alpha }{Q}^{1-\alpha }dx$替换为更大的全空间积分$\int P^{\alpha }{Q}^{1-\alpha }dx$，并通过Rényi散度的定义将其转化为指数形式，从而完成上界推导。