AT_abc400_e [ABC400E] Ringo‘s Favorite Numbers 3 题解

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题目大意

题目描述

对于正整数 $N$，当且仅当满足以下两个条件时，$N$ 被称为 400 number：

• $N$ 恰好有 $2$ 种不同的素因数。
• 对于 $N$ 的每个素因数 $p$，$N$ 被 $p$ 整除的次数为偶数次。更严格地说，对于 $N$ 的每个素因数 $p$，使得 $p^k$ 是 $N$ 的约数的最大非负整数 $k$ 是偶数。

给定 $Q$ 个查询，请回答每个查询。每个查询给出一个整数 $A$，请找出不超过 $A$ 的最大 400 number 的值。在本问题的约束条件下，保证 $A$ 以下必定存在至少一个 400 number。

输入格式

输入通过标准输入给出，格式如下：

$Q$
${\text{query}}_1$
${\text{query}}_2$
$⋮$
${\text{query}}_Q$

其中，${\text{query}}_i$ 表示第 $i$ 个查询，格式为：

$A$

输出格式

输出 $Q$ 行。第 $i$ 行应输出第 $i$ 个查询的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
404
36
60
1000000000000
123456789

输出 #1

400
36
36
1000000000000
123454321

说明/提示

约束条件

• $1\le Q\le 2\times 10^5$
• 对于每个查询，$36\le A\le 10^{12}$
• 输入中的所有值均为整数

样例解释 1

以第一个查询为例：
$400$ 的素因数恰好为 $2$ 和 $5$ 两种。$400$ 被 $2$ 整除的次数为 $4$ 次（偶数次），被 $5$ 整除的次数为 $2$ 次（偶数次），因此 $400$ 是 400 number。而 $401$、$402$、$403$、$404$ 均不是 400 number，故答案为 $400$。

翻译由 DeepSeek R1 完成

解题思路

我们使用筛法筛出所有素数并打上标记，然后再跑一遍，计算每个数 $x$ 的质因子个数，如果为 $2$，那么 $x^2$ 就是满足题意的一个解，把他存起来。

对于每次询问 $A$，我们只需要找到未超过 $\lfloor \sqrt{A}\rfloor$ 的最大的只有两个质因子的数 $k$，那么直接输出 $k^2$ 即可。

时间复杂度约为 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$。

只不过这里的筛法就不需要欧拉筛了，直接上埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛法）就行，感觉实现方面还简单一些。

CODE：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int cnt[N], ans[N];
bool isprime[N];
inline void shai() {
	for (int i = 2; i <= 1e6; ++i) {
		if (!isprime[i]) {
			for (int j = i + i; j <= 1e6; j += i) {
				isprime[j] = true;
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= 1e6; ++i)
		if (!isprime[i]) {
			for (int j = i; j <= 1e6; j += i) {
				cnt[j]++;
			}
		}
	for (int i = 6; i <= 1e6; ++i) {
		if (cnt[i] == 2) {
			ans[i] = i;
		} else {
			ans[i] = ans[i - 1];
		}
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	shai();
	int T;
	cin >> T;
	while (T--) {
		int n;
		cin >> n;
		n = ans[(int)sqrtl(n)];
		cout << n * n << "\n";
	}
	return 0;
}