泰勒公式的深入研究

前言

凝视你背影一辈子
容祖儿《墙纸》

吐槽

没想明白为什么把泰勒公式放在中值定理这一章，感觉没啥联系。

分析

根据余项的不同，可以将泰勒公式分为两种，一种的余项称为皮亚诺余项，另一种称为拉格朗日余项，皮亚诺余项是写到最后一项，然后直接加一个高阶无穷小，要求是在 $x_0$ 处可以求 n 阶导数，那么在 $x_0$ 的邻域内可以泰勒展开。拉格朗日余项类型，要求在包含 $x_0$ 的区间 I 内具有 n + 1 阶导数，可以展开到 n + 1 阶，但是这一阶用的是 $\xi$ 。算极限的时候用的比较多的是麦克劳林公式，也就是在 $x_0=0$ 处展开。常见的麦克劳林公式需要熟记，这非常重要。

6.14

泰勒展开求极限就好。首先定型，可以算出一个函数值为零，可以让泰勒展开之后有一项为零。然后高阶无穷小直接算为零，最后就算出答案了，不算难，简直就是送分题。

6.15

这个泰勒展开就能直接证明，感觉格式还需要再打磨打磨，比如说可以直接假设 n 阶导数的正负性，然后判断极值，分为左右邻域判断，假设一边小，另一边大，就说明这个点不是极值，极值是考虑邻域内的最大值或者最小值，就像，一个班级里面的成绩最好的同学，或者一个班级里面成绩最差的同学。大概这样子。

1.25

直接把 $tanx$ 泰勒展开，然后高阶无穷小就是只剩下一个 $o(x^3)$ ，剩下的部分都是零，假设不是，就让前面的系数为零，控制整体为零，是属于前面的题，或者说，这整本书上面的题都是比较简单的题，毕竟是基础讲义。

1.26

也是常用的函数的泰勒展开，没什么操作性，谨慎一点，把泰勒公式记住基本不可能写错。不过，感觉考研不可能考这种题。

1.27

泰勒或者等价无穷小都可以。$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$

1.28

泰勒或者等价无穷小都可以。
$$arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})$$

1.29

压力有点大，差一点点就把这个题写错了。我们需要保证讲义和做过的练习题的百分百得正确率，这是我们考试的底气。实际上正解就是把每个式子泰勒展开，所以不需要慌，严格按照要求，然后计算的时候谨慎一些。

1.30

这题直接翻车了。啊这。没注意到什么跳阶，还有和取低阶的东西。注意了之后就还好。等价无穷小还要凑一凑之类的，当然本质也是和取低阶，欣赏一下就好，反正最重要的就是要把初试的分数提升上去。这非常重要。