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蓝桥赛前复习2：一维差分二维差分

news 来源：原创 2025/5/11 12:12:53

一维差分

问题描述

给定一个长度为 nn 的序列 aa。

再给定 mm 组操作，每次操作给定 33 个正整数 l,r,dl,r,d，表示对 al∼ral∼r 中的所有数增加 dd。

最终输出操作结束后的序列 aa。

Update：由于评测机过快，n,mn,m 于 2024-12-09 从 105105 加强至 2×1052×105，杜绝暴力通过本题。

输入格式

第一行输入两个正整数 n,mn,m。（1≤n,m≤2×1051≤n,m≤2×105）

第二行输入 nn 个正整数 aiai。（1≤i≤n,1≤ai≤1041≤i≤n,1≤ai≤104）。

接下来 mm 行，每行输入 33 个正整数 l,r,dl,r,d。（1≤l≤r≤n,−104≤d≤1041≤l≤r≤n,−104≤d≤104）。

输出格式

输出 nn 个整数，表示操作结束后的序列 aa。

样例输入

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

样例输出

3 4 5 3 4 2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
  int n,q;
  cin >> n >> q;
  vector<int> a(n+1,0);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin >> a[i];
  }

  vector<int> diff(n+1,0);
  while(q--){
    int x1,y1,d;
    cin >> x1 >> y1 >> d;
    diff[x1] += d;
    if(y1+1 <= n){
      diff[y1+1] -= d;
    }

  }

  for(int i=1;i<=n;i++){
    diff[i] += diff[i-1];
    a[i] += diff[i];
  }

  for(int i=1;i<=n;i++){
    cout << a[i] << " ";
  }
}

二维差分

问题描述

给定一个 n×mn×m 大小的矩阵 AA。

给定 qq 组操作，每次操作为给定 55 个正整数 x1,y1,x2,y2,dx1,y1,x2,y2,d，Ax1,y1Ax1,y1 是子矩阵左上角端点，Ax2,y2Ax2,y2 是子矩阵右下角端点，你需要给其中每个元素都增加 dd。

输出操作结束后的矩阵 AA。

输入格式

第一行输入 33 个正整数 n,m,qn,m,q。（1≤n,m≤103,1≤q≤1051≤n,m≤103,1≤q≤105）

接下来 nn 行每行输入 mm 个整数，表示 Ai,jAi,j。(−103≤Ai,j≤103,1≤i≤n,1≤j≤m)(−103≤Ai,j≤103,1≤i≤n,1≤j≤m)

接下来 qq 行，每行输入 55 个正整数 x1,y1,x2,y2,dx1,y1,x2,y2,d。(1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−103≤d≤103)(1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−103≤d≤103)

输出格式

输出 nn 行 mm 个整数，表示操作结束后的矩阵 AA。

样例输入

样例输出

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

二维差分的举例：

假设我们有一个 4x4 的矩阵，并且我们需要对子矩阵 (1,1) 到 (3,3) 所有元素加 5

想变成就可以用差分来做

差分数组diff样子

按四点更新规则diff数组会变成这个样子

然后每行从左到右累加：

再然后每列从上到下累加：

下面代码：

#include <iostream>
#include <vector>
 
using namespace std;
 
void solve() {
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    
    vector<vector<int>> A(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    vector<vector<int>> diff(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cin >> A[i][j];
        }
    }

    for (int i = 0; i < q; ++i) {
        int x1, y1, x2, y2, d;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> d;

        diff[x1][y1] += d;
        if (x2 + 1 <= n) diff[x2 + 1][y1] -= d;
        if (y2 + 1 <= m) diff[x1][y2 + 1] -= d;
        if (x2 + 1 <= n && y2 + 1 <= m) diff[x2 + 1][y2 + 1] += d;
    }
 
    //一步到位的前缀和累加
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            diff[i][j] += diff[i - 1][j];         //累加上方
            diff[i][j] += diff[i][j - 1];         //累加左方
            diff[i][j] -= diff[i - 1][j - 1];     //减去重复累加的左上角
            A[i][j] += diff[i][j];                //更新矩阵元素
        }
    }
 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cout << A[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}
 
int main() {
    solve();
    return 0;
}