最大子序和问题——动态规划/贪心算法解决

目录

一：问题描述

二：解决思路1——动态规划思想

三：C 语言代码实现

 四：复杂度分析

 五：解决思路2——贪心算法思想

六：具体步骤

七: C语言代码实现

八：复杂度分析

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一：问题描述

最大子序和问题指的是在一个整数数组里，找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），然后返回其最大和。

例如，对于数组 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，其连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

二：解决思路1——动态规划思想

1. 定义一个数组 dp，其中 dp[i] 代表以第 i 个元素结尾的连续子数组的最大和。
2. 状态转移方程：dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])。也就是说，以第 i 个元素结尾的连续子数组的最大和，要么是把第 i 个元素加入到以第 i - 1 个元素结尾的连续子数组中，要么是第 i 个元素单独作为一个子数组。
3. 最终的最大子序和就是 dp 数组中的最大值。

三：C 语言代码实现

#include <stdio.h>

// 函数用于找出最大子序和
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {
    if (numsSize == 0) return 0;
    int dp[numsSize];
    dp[0] = nums[0];
    int max_sum = dp[0];

    for (int i = 1; i < numsSize; i++) {
        // 状态转移方程
        if (dp[i - 1] + nums[i] > nums[i]) {
            dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
        } else {
            dp[i] = nums[i];
        }
        // 更新最大和
        if (dp[i] > max_sum) {
            max_sum = dp[i];
        }
    }

    return max_sum;
}

int main() {
    int nums[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
    int numsSize = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);
    int result = maxSubArray(nums, numsSize);
    printf("最大子序和为: %d\n", result);
    return 0;
}

 四：复杂度分析

• 算法的时间复杂度为 (O(n))，其中 n 是数组的长度。

 五：解决思路2——贪心算法思想

贪心算法的核心思想在于每一步都做出当下看起来最优的选择，期望通过局部最优解来达成全局最优解。

在最大子序和问题中，我们可以在遍历数组的过程里，持续更新当前的连续子数组和，并且在每一步都判断是否要更新最大和。

六：具体步骤

1. 初始化变量：

   • 定义两个变量，current_sum 用于记录当前连续子数组的和，初始值设为数组的第一个元素。
   • max_sum 用于记录到目前为止所找到的最大子序和，初始值也设为数组的第一个元素。

2. 遍历数组：

   • 从数组的第二个元素开始遍历。
   • 对于每一个元素 nums[i]，有两种情况：
     • 如果 current_sum 加上当前元素 nums[i] 后比 nums[i] 本身大，那么就把 nums[i] 加入到当前连续子数组中，即 current_sum = current_sum + nums[i]。
     • 反之，说明之前的连续子数组和是负数，继续保留它会让和变小，所以舍弃之前的连续子数组，从当前元素 nums[i] 开始一个新的连续子数组，即 current_sum = nums[i]。

3. 更新最大和：

   • 在每次更新 current_sum 之后，比较 current_sum 和 max_sum 的大小。如果 current_sum 大于 max_sum，就更新 max_sum 为 current_sum。

4. 返回结果：

   • 遍历完整个数组后，max_sum 中存储的就是最大子序和，将其返回。

七: C语言代码实现

#include <stdio.h>

// 函数用于找出最大子序和
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {
    if (numsSize == 0) return 0;
    int current_sum = nums[0];
    int max_sum = nums[0];

    for (int i = 1; i < numsSize; i++) {
        // 判断是否更新当前连续子数组和
        if (current_sum + nums[i] > nums[i]) {
            current_sum = current_sum + nums[i];
        } else {
            current_sum = nums[i];
        }
        // 更新最大和
        if (current_sum > max_sum) {
            max_sum = current_sum;
        }
    }

    return max_sum;
}

int main() {
    int nums[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
    int numsSize = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);
    int result = maxSubArray(nums, numsSize);
    printf("最大子序和为: %d\n", result);
    return 0;
}

八：复杂度分析

• 时间复杂度：(O(n))，这里的 n 是数组的长度。因为只需要对数组进行一次遍历。
• 空间复杂度：(O(1))，只使用了常数级的额外空间。