【深度学习与大模型基础】第10章-期望、方差和协方差

一、期望

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1. 期望是什么？

期望（Expectation）可以理解为“长期的平均值”。比如：

• 掷骰子：一个6面骰子的点数是1~6，每个数字概率是1/6。
  期望值 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
  意思是：如果你掷骰子无数次，平均每次的结果会趋近于3.5。

• 程序员类比：
  假设你每天写代码的bug数量是随机变量，长期平均每天产生2个bug，那么 bug数的期望就是2。

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2. 期望的公式

离散随机变量的期望公式：

即：每个值 × 它的概率，再全部加起来。

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3. 代码例子

例子1：计算骰子的期望

import numpy as np

# 骰子的可能取值和概率
values = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
probabilities = np.array([1/6] * 6)  # 每个概率1/6

# 期望 = sum(值 × 概率)
expectation = np.sum(values * probabilities)
print(expectation)  # 输出：3.5

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4. 期望的现实意义

• 决策依据：比如比较两个功能的预期收益，选期望更高的。

• 风险评估：比如算法的平均时间复杂度就是期望的体现。

• 机器学习：损失函数的期望最小化（如交叉熵）是训练模型的核心。

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5. 注意

• 期望≠必然结果！比如骰子期望是3.5，但永远掷不出3.5。

• 期望可能是无限（如某些概率分布的期望不存在）。

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二、方差

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1. 方差是什么？

方差衡量的是数据的“离散程度”，即数据点与期望值（均值）的偏离程度。
通俗说：方差越大，数据越“散”；方差越小，数据越“集中”。

• 例子1：
  两组程序员每天写的代码行数：

  • A组：[90, 100, 110]（均值=100，波动小）→ 方差小

  • B组：[50, 100, 150]（均值=100，波动大）→ 方差大

• 例子2（程序员版）：
  你的代码在测试环境跑10次，每次耗时可能是：

  • 低方差：[9ms, 10ms, 11ms]（稳定）

  • 高方差：[1ms, 10ms, 20ms]（波动大，性能不可靠）

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2. 方差的公式

设随机变量 X的期望为 E(X)，则方差 Var(X)为：

 

即：每个数据与均值的差的平方的平均。

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3. 代码例子

例子1：计算骰子的方差

import numpy as np

# 骰子的可能取值和概率
values = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
probabilities = np.array([1/6] * 6)  # 每个概率1/6

# 期望 = sum(值 × 概率)
expectation = np.sum(values * probabilities)
print(expectation)  # 输出：3.5

# 方差 = sum( (x_i - 期望)^2 × 概率 )
variance = np.sum((values - expectation) ** 2 * probabilities)
print(variance)  # 输出：2.916...

解释：

• 骰子的结果1~6分别与期望3.5的差是[-2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5]

• 平方后求和再平均，得到方差≈2.92（说明骰子点数波动较大）。

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4. 方差的意义

• 稳定性评估：比如API接口的响应时间方差越小越好。

• 风险控制：在强化学习中，策略的方差高可能导致训练不稳定。

• 特征选择：机器学习中，方差接近0的特征可能对模型无用（如常数列）。

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5. 注意

• 方差单位是原数据的平方（比如“秒²”），有时用标准差（方差的平方根）更直观。

• 方差对异常值敏感（一个极端值会大幅拉高方差）。

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 三、协方差

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1. 协方差是什么？

协方差衡量的是两个随机变量的“协同变化关系”：

• 协方差 > 0：一个变量增大，另一个也倾向于增大（正相关）。

• 协方差 < 0：一个变量增大，另一个倾向于减小（负相关）。

• 协方差 ≈ 0：两个变量无明显线性关系。

通俗比喻：

• 程序员版：

  • 正相关：代码量增加 → Bug数量也增加 😅

  • 负相关：测试覆盖率提高 → Bug数量减少 🎉

  • 无关系：咖啡饮用量和代码性能（可能毫无关联）☕→🤖

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2. 协方差公式

对于两个随机变量 X 和 Y，协方差 Cov(X,Y) 定义为：

Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]

即：两个变量分别与各自均值的偏差，乘积的平均值。

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3. 代码例子

例子1：程序员工作时长与Bug数量的关系

假设5天数据：

• 每天工作时间（小时）：[6, 8, 10, 12, 14]

• 对应Bug数量：[3, 5, 7, 9, 11]

import numpy as np

# 数据
hours = np.array([6, 8, 10, 12, 14])  # X
bugs = np.array([3, 5, 7, 9, 11])     # Y

# 计算协方差
covariance = np.cov(hours, bugs, ddof=0)[0, 1]  # ddof=0表示总体协方差
print(covariance)  # 输出：10.0

解释：

• 协方差=10（正数），说明工作时长和Bug数量呈正相关（工作时间越长，Bug越多）。

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例子2：代码覆盖率与Bug数量的关系

新数据：

• 代码覆盖率（%）：[70, 80, 90, 95, 99]

• Bug数量：[10, 7, 5, 3, 1]

coverage = np.array([70, 80, 90, 95, 99])
bugs = np.array([10, 7, 5, 3, 1])

covariance = np.cov(coverage, bugs, ddof=0)[0, 1]
print(covariance)  # 输出：-32.16

解释：

• 协方差≈-32（负数），说明覆盖率越高，Bug越少（负相关）。

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4. 协方差的意义

• 特征相关性分析：在机器学习中，协方差矩阵用于筛选高相关性的特征。

• 投资组合：在量化中，不同股票收益的协方差衡量风险分散效果。

• 性能优化：比如分析CPU占用和内存使用的协方差，优化资源分配。

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5. 注意

• 协方差的数值大小受数据单位影响（比如“小时×Bug数”），难以直接比较。

• 更常用的是相关系数（Pearson系数），它标准化协方差到[-1, 1]范围：

  corr = np.corrcoef(hours, bugs)[0, 1]  # 输出：1.0（完全线性正相关）

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附：协方差矩阵

协方差矩阵是机器学习中常用的工具，例如PCA降维：

# 计算协方差矩阵
data = np.vstack([hours, bugs])
cov_matrix = np.cov(data, ddof=0)
print(cov_matrix)

输出：

 [[ 8.   -8.8 ]
 [-8.8   9.76]]

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总结

• 协方差告诉你两个变量如何共同变化。

• 正/负协方差 → 正/负相关；接近0 → 无线性关系。

• 代码中用np.cov()计算，但实际分析更常用相关系数。