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组合数学——二项式系数

news 来源：原创 2025/5/21 6:10:00

3.1 二项式定理

定理 3.1.1（二项式定理）

设 $n$ 为一正整数，则对任意的 $x$ 和 $y$ ，有
$y)^n = y^n + \binom{n}{1}x y^{n-1} + \binom{n}{2}x^2 y^{n-2} + \cdots + \binom{n}{n-1}x^{n-1} y + x^n$
或等价地表示为：
$y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r}.$

定理 3.1.2

对一切实数 $\alpha$ 和 $x$ （ $∣ x ∣ < 1$ ），有
$x)^{\alpha} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{\alpha}{r} x^r,$
其中
$\binom{\alpha}{r} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - r + 1)}{r!}.$
(1) $\alpha=-n$
$x)^{-n} = \sum_{r=0}^{\infty} (-1)^r \binom{n + r - 1}{r} x^r.$
(2) $\alpha=\frac{1}{2}$
$x)^{\frac{1}{2}} = \sum_{r=0}^{+\infty} (-1)^{r-1} \cdot \frac{1}{r \cdot 2^{2r-1}} \cdot \binom{2r - 2}{r - 1}x^r.$

3.2二项式系数

当 $n, r$ 均为非负整数，且 $\geq r$ 时， $\binom{n}{r}$ 有一些基本的性质：

对称关系
$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$
递推关系
$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1} \quad (n \geq r \geq 1)$
单峰性
当 $n$ 为偶数时，有
$\binom{n}{0} < \binom{n}{1} < \cdots < \binom{n}{\frac{n}{2}}, \binom{n}{\frac{n}{2}} > \cdots > \binom{n}{n-1} > \binom{n}{n}$

当 $n$ 为奇数时，有
$\binom{n}{0} < \binom{n}{1} < \cdots < \binom{n}{\frac{n-1}{2}} = \binom{n}{\frac{n+1}{2}}, \cdots$

3.3组合恒等式

等式 1

$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n.$

证明： 在二项式定理中令 $x = y = 1$ 即可。

等式 2

$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \cdots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \cdots.$

证明： 在二项式定理中令 $x = - 1, y = 1$ ，得
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0.$

整理一下即得。

等式 3

$\cdot \binom{n}{1} + 2 \cdot \binom{n}{2} + \cdots + n \cdot \binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}.$

证明： 对等式
$x)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^i$

两边在 $x = 1$ 处求导数，得
$\left[(1 + x)^n\right]'_{x=1} = n(1 + x)^{n-1}\big|_{x=1} = n2^{n-1},$

$\left[\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^i\right]'_{x=1} = \sum_{i=1}^{n} i \binom{n}{i} x^{i-1}\big|_{x=1} = \sum_{i=1}^{n} i \binom{n}{i},$

从而
$\cdot \binom{n}{1} + 2 \cdot \binom{n}{2} + \cdots + n \cdot \binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}.$

等式 4

$\binom{0}{k} + \binom{1}{k} + \cdots + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k+1}.$

等式 5

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$

等式 6

$\sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} \binom{n}{r+i} = \binom{m+n}{m+r}$

3.4多项式定理

定理 3.4.1

设 $n$ 为正整数，则

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n = \sum \binom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} x_1^{n_1} x_2^{n_2} \cdots x_t^{n_t},$

其中

$\binom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}$

定理 3.4.2

给定正整数 $n_1, n_2, \cdots, n_t$ ，且 $n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n$ ，那么

$\binom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \binom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} + \binom{n-1}{n_1 (n_2-1) \cdots n_t} + \cdots + \binom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t-1)}$