C++动态规划基础入门
🌱 第一阶段：打好基础
1. 理解什么是动态规划
动态规划的本质是把一个复杂的问题分解为多个子问题，保存子问题的解以避免重复计算。
通俗地说，就是“记住你已经算过的东西，别重复做傻事”。
2. 掌握几个基本概念
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状态定义（状态表示）：用变量表示某个子问题的情况，比如
dp[i]表示前 i 个物品的最优解。 -
状态转移方程：用之前的状态推出当前的，比如：
dp[i] = dp[i-1] + ... -
初始条件（边界值）：比如
dp[0] = 0 -
最终答案的选择：可能是
dp[n]，也可能是max(dp[i])
🧠 第二阶段：理解并手写简单例题
推荐几个经典入门题：
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斐波那契数列（经典一维 DP）
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递归（慢） ➜ 记忆化搜索 ➜ DP数组 ➜ 滚动数组优化
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爬楼梯问题
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dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
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0-1背包问题（二维 DP）
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状态定义：
dp[i][j]表示前 i 个物品在容量 j 下的最大价值 -
状态转移：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i])
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最长上升子序列 LIS
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dp[i] = max(dp[j] + 1)ifnums[i] > nums[j]
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这些题都很适合在 C++ 中实现，训练你的数组使用和逻辑思维。
🧰 第三阶段：刷题+总结套路
建议网站：
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Letcode
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NOI全国青少年信息学奥林匹克竞赛
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牛客网
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洛谷（适合算法竞赛风格）
分类刷题方向：
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一维 DP：爬楼梯、打家劫舍
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二维 DP：背包问题、棋盘路径
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区间 DP：回文串、石子合并
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状态压缩 DP：旅行商问题（TSP）
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树形 DP：树上选点、树的直径
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背包类型进一步细分：
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0-1 背包
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完全背包
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多重背包
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分组背包
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💡 技巧与建议
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先暴力，再优化： 不要一上来就写动态规划，先写递归或回溯，跑不动了再思考“我是不是可以记录中间结果”。
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调试技巧： 输出
dp数组的每一步，看哪里更新出错。 -
多看别人的题解，但不要死背： 尝试用自己的语言复述状态转移方程。
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自己动手画状态转移图/表格： 尤其是二维的，很容易看清楚转移路径。
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写一套 DP 模板： 比如你可以整理一个 0-1 背包的代码框架，套着用，省脑子。
🥚 第一阶段：基础 DP 入门（简单易懂，思路清晰）
1. 斐波那契数列
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🧠 关键点：递归 + 记忆化 + 迭代 DP
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💡 状态转移：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] -
💻 LeetCode 原题：509. Fibonacci Number
2. 爬楼梯
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🧠 类似斐波那契，适合入门
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💡 每次可以爬 1 或 2 级台阶，问有几种方法爬到第 n 级
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💻 LeetCode 原题：70. 爬楼梯
3. 打家劫舍 I
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🧠 房子不能连续偷，典型的“一维状态 + 选与不选”
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💡 状态转移：
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]) -
💻 LeetCode 原题：198. House Robber
🐣 第二阶段：二维 DP + 背包入门
4. 不同路径
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🧠 从左上角走到右下角，只能向右或下走，问有几种路径
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💡 状态转移：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] -
💻 LeetCode 原题：62. Unique Paths
5. 0-1 背包问题（基础竞赛题）
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🧠 有若干物品和一个背包，选择物品装进去使总价值最大，不能重复选
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💡 状态定义：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) -
💻 洛谷经典入门题：P1048 采药
🐉 第三阶段：稍进阶一点，挑战一下
6. 最长上升子序列（LIS）
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🧠 很常见的竞赛题型，DP难度提升一点
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💡
dp[i] = max(dp[j] + 1)ifnums[i] > nums[j]
💻 LeetCode 原题：300. Longest Increasing Subsequence
7. 完全背包问题
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🧠 和 0-1 背包不同，每个物品可以选无限次
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💡 状态转移会略不同：一维优化：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]) -
💻 洛谷：P1616 疯狂的采药