[ABC400F] Happy Birthday! 3 题解

考虑正难则反。问题转化为：

一个环上有 $n$ 个物品，颜色分别为 $co{l}_i$，每次操作选择两个数 $i,j$ 使得 $\forall k\in [i,j],co{l}_k=co{l}_i\vee co{l}_k=0$，将 $[i,j]$ 中的每个物品的颜色都设为 $0$。（下文将这种操作称为“漂白”。）一次操作的代价为 $j-i+1+x_{co{l}_i}$。求将整个环漂白的最小总代价。

先断环为链。设 $d{p}_{i,j}$ 表示将 $[i,j]$ 漂白的最小代价，那么显然有 $d{p}_{i,j}={\min }_{k=i}^{j-1}d{p}_{i,k}+d{p}_{k+1,j}$。

设 $f_{i,j}$ 表示使 $[i,j]$ 能够漂白的最小代价，那么显然有 $f_{i,j}={\min }_{k=1}^{j-1}{f}_{i,k}+d{p}_{k+1,j}$。当 $co{l}_i=co{l}_j$ 时，有 $f_{i,j}=\min (f_{i,j},f_{i,j-1}),d{p}_{i,j}=\min (d{p}_{i,j},f_{i,j}+j-i+x_{co{l}_i})$。

答案即为 ${\min }_{i=1}^{n}d{p}_{i,i+n-1}$。