【C++游戏引擎开发】第14篇：视图空间与相机坐标系

一、视图空间的基础数学框架

1.1 齐次坐标与变换矩阵

三维坐标系变换采用4×4齐次坐标矩阵，其通用形式为：
$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{3\times 3}& {\mathbf{b}}_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]$$
其中：

• $\mathbf{A}$ 包含旋转、缩放变换
• $\mathbf{b}$ 为平移向量
• 坐标点表示为 $(x,y,z,1{)}^T$

1.2 相机参数化表示

相机状态由六自由度参数定义：

• 位置坐标：$\mathbf{C}=(X,Y,Z)$
• 欧拉角：$({\theta }_x,{\theta }_y,{\theta }_z)$（俯仰、偏航、滚动）
• 缩放因子：$s$

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二、相机坐标系变换原理

2.1 刚体变换分解

2.1.1 平移变换矩阵

将世界坐标原点平移至相机位置：
$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -X\\ 0& 1& 0& -Y\\ 0& 0& 1& -Z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.1.2 旋转变换矩阵

构造基于观察方向的正交基：

1. 前向向量：$\mathbf{f}=\frac{\mathbf{g}}{\Vert \mathbf{g}\Vert }$
2. 右向向量：$\mathbf{r}=\frac{\mathbf{t}\times \mathbf{f}}{\Vert \mathbf{t}\times \mathbf{f}\Vert }$
3. 上向向量：$\mathbf{u}=\mathbf{f}\times \mathbf{r}$

旋转矩阵的解析形式：
$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cccc}{r}_x& r_y& r_z& 0\\ u_x& u_y& u_z& 0\\ -f_x& -f_y& -f_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.2 视图矩阵合成

组合平移与旋转得到视图矩阵：
$${\mathbf{M}}_{view}=\mathbf{R}\cdot \mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{r}& -\mathbf{r}\cdot \mathbf{C}\\ \mathbf{u}& -\mathbf{u}\cdot \mathbf{C}\\ -\mathbf{f}& \mathbf{f}\cdot \mathbf{C}\\ 0& 1\end{array}\right]$$

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三、投影变换原理

3.1 正交投影

3.1.1 规范视体定义

正交投影将立方体视体映射到规范立方体[-1,1]³：
$${\mathbf{M}}_{ortho}=$$