区间 dp 系列 题解

1.洛谷 P4342 IOI1998 Polygon

我的博客

2.洛谷 P4290 HAOI2008 玩具取名

题意

某人有一套玩具，并想法给玩具命名。首先他选择 W, I, N, G 四个字母中的任意一个字母作为玩具的基本名字。然后他会根据自己的喜好，将名字中任意一个字母用 W, I, N, G 中任意两个字母代替，使得自己的名字能够扩充得很长。

现在，他想请你猜猜某一个很长的名字，最初可能是由哪几个字母变形过来的。

四个整数 $W,I,N,G$，表示每一个字母能由几种两个字母所替代：

• 接下来 $W$ 行，每行两个字母,表示 W 可以用这两个字母替代。

• 接下来 $I$ 行，每行两个字母，表示 I 可以用这两个字母替代。

• 接下来 $N$ 行，每行两个字母，表示 N 可以用这两个字母替代。

• 接下来 $G$ 行，每行两个字母，表示 G 可以用这两个字母替代。

• 最后一行一个长度不超过 $L$ 的字符串。表示这个玩具的名字。

一行字符串，输出该名字可能由哪一个字母变形而得到。（按照 W, I, N, G 的顺序输出）

如果给的名字不能由任何一个字母变形而得到则输出 The name is wrong!。

$L\le 200$，$W,I,N,G\le 16$。

思路

其实就是原字符串中，找其中两个合并成特定的一个字母，问最后能否变成只有一个字母。合并问题，想到用区间 dp。

不妨给 $4$ 个字母编号：$\mathrm{W},\mathrm{I},\mathrm{N},\mathrm{G}$ 分别对应 $1,2,3,4$。设 $f_{i,j,x}$ 表示区间 $[i,j]$ 的字符，是否可以合并成编号为 $x$ 的字符。

考虑转化为子问题：将区间 $[i,j]$ 拆分成 $[i,k]$ 和 $[k+1,j]$，并且分别期望用编号为 $pq,p,q$ 的字母来覆盖（这变量够直观吧）。

如果左右区间都可以被完全替换为期望字符，并且编号为 $pq$ 的字母可以被两个编号分别为 $p,q$ 的字母并起来替代，那么 $f_{i,j,x}=1$。

至于关系就很好处理了。我的代码是懒人写法：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=203;
ll m[5];
string s;
bool vis[5][5][5],f[N][N][5];//f(i,j,x):区间[i,j]能否替换成字母编号x 
ll chg(char c)
{
	if(c=='W')return 1;
	if(c=='I')return 2;
	if(c=='N')return 3;
	return 4;
}
char print(ll i)
{
	if(i==1)return 'W';
	if(i==2)return 'I';
	if(i==3)return 'N';
	return 'G';
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	for(int i=1;i<=4;i++)
	cin>>m[i];
	for(int i=1;i<=4;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m[i];j++)
		{
			string t;
			cin>>t;
			vis[i][chg(t[0])][chg(t[1])]=1;
		}
	}
	cin>>s;
	ll n=s.size();
	s='*'+s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	f[i][i][chg(s[i])]=1;
	for(int len=2;len<=n;len++)
	{
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
		{
			ll j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++)
			for(int pq=1;pq<=4;pq++)
			for(int p=1;p<=4;p++)
			for(int q=1;q<=4;q++)
			if(vis[pq][p][q]&&f[i][k][p]&&f[k+1][j][q])f[i][j][pq]=1;
		}
	}
	bool flag=0;
	for(int pq=1;pq<=4;pq++)
	{
		if(f[1][n][pq])cout<<print(pq);
		flag|=f[1][n][pq];
	}
	if(!flag)puts("The name is wrong!");
	return 0;
}

3.CF607B Zuma

题意

$\text{Genos}$ 最近在他的手机上下载了祖玛游戏。在祖玛游戏里，存在 $n$ 个一行的宝石，第 $i$ 个宝石的颜色是 $a_i$。这个游戏的目标是尽快的消灭一行中所有的宝石。

在一秒钟，$\text{Genos}$ 能很快的挑选出这些有颜色的宝石中的一个回文的、连续的子串，并将这个子串移除。每当一个子串被删除后，剩余的宝石将连接在一起，形成一个新的行列。

求把整个宝石串都移除的最短时间。

$1\le n\le 500$。

思路

合并就考虑区间 dp，设 $f_{i,j}$ 表示区间 $[i,j]$ 能否被完全消除，那么有几个明显的结论：

• $f_{i,i}=1$
• $f_{i,i+1}=\{\begin{array}{c}1,a_i=a_{i+1}\\ 2,a_i\ne a_{i+1}\end{array}$
• $f_{i,j}=f_{i+1,j-1},a_i=a_j$

前两点用于初始化。第三点作为特殊情况；对于朴素情况，枚举断点 $k\in [i,j)$ 就好：
f i , j = min ⁡ { f i , k + f k + 1 , j } f_{i,j}=\min\{f_{i,k}+f_{k+1,j}\} fi,j​=min{fi,k​+fk+1,j​}

只需讨论区间长度为 $3$ 的就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=502,inf=0x3f3f3f3f;
ll n,a[N];
ll f[N][N];//f(i,j):区间[i,j]全部消除的最短时间 
bool palin(ll l,ll r)
{
	for(int i=l,j=r;i<=j;i++,j--)
	if(a[i]!=a[j])return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][i]=1;
		if(a[i]==a[i+1])f[i][i+1]=1;
		else f[i][i+1]=2;
		for(int j=i+2;j<=n;j++)
		f[i][j]=inf;
	}
	for(int len=3;len<=n;len++)
	{
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
		{
			ll j=i+len-1;
			if(a[i]==a[j])f[i][j]=f[i+1][j-1];
			for(int k=i;k<j;k++)
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
		}
	}
	printf("%lld",f[1][n]);
	return 0;
}