裴蜀定理扩展欧几里得定理

裴蜀定理（又称贝祖定理）

理论

一定存在整数 $x,y$，满足 $ax+by=gcd(a,b)$

例 $4x+6y=2$，有整数解 $x=-1,y=1$。
而 $4x+6y=3$，即 $x=\frac{3-6y}{4}$ 无整数解。

证明：

设取整数 $x_0,y_0$ 时，$ax+by$ 的最小正整数为 $s$

即 $a{x}_0+b{y}_0=s$

因 $gcd(a,b)\mid a{x}_0$，$gcd(a,b)\mid b{y}_0$，

故 $gcd(a,b)\mid s\cdots \cdots (1)$

设 $a=qs+r(0\le r<s)$

$r=a-qs$

$=a-q(a{x}_0+b{y}_0)$

$=a(1-q{x}_0)+b(-q{y}_0)$

$=ax+by$

因 $s$ 是最小正整数，故 $r=0$

所以 $s\mid a$，同理 $s\mid b$，
故 $s\mid gcd(a,b)\cdots \cdots (2)$

由 $(1)(2)$ 得 $s=gcd(a,b)$。证毕。

裴蜀定理推广
一定存在整数 $x,y$，满足 $ax+by=gcd(a,b)\times n$

例 $4x+6y=8$，有整数解 $x=-4,y=4$。

裴蜀定理再推广
一定存在整数 $X_1\cdots X_i$，满足 ${\sum }_{i=1}^n{A}_i{X}_i=gcd(A_1,A_2,\cdots ,A_n)$

例 $4x_1+6x_2+2x_3=4$，有整数解 $x_1=1,x_2=0,x_3=0$。

裴蜀定理扩展
$ax+by=n$

结论：

• 若 $n>ab-a-b$，有解
• 若 $n=0$，有解
• 若 $n<0$，无解
• 若 $ax+by=n$ 有解，则 $ax+by=ab-a-b-n$ 无解

注意

欧几里得算法求 $gcd(a,b)$

如果代入负数，结果会返回负数

例：$gcd(8,-4)=-4$

如果系数 $A_i$ 为负数，

求 $gcd$ 时可代入其绝对值，

确保所求最大公约数为正数，

这样并不会影响解的存在。

例题

P4549 【模板】裴蜀定理

题目描述
给定一个包含 $n$ 个元素的整数序列 $A$，记作 $A_1,A_2,A_3,...,A_n$。
求另一个包含 $n$ 个元素的待定整数序列 $X$，记 $S=\sum _{i=1}^n{A}_i\times X_i$，使得 $S>0$ 且 $S$ 尽可能的小。

输入格式
第一行一个整数 $n$，表示序列元素个数。
第二行 $n$ 个整数，表示序列 $A$。

输出格式
一行一个整数，表示 $S>0$ 的前提下 $S$ 的最小值。

输入输出样例 #1
输入 #1

2
4059 -1782

输出 #1

99

说明/提示
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 20$，$|A_i|\le 10^5$，且 $A$ 序列不全为 $0$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
	int n, ans;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int x;
		cin >> x;
		if (i == 1)
		{
			ans = abs(x);
		}
		else
		{
			ans = gcd(ans, abs(x));
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

买不到的数目

题目描述
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成 4 颗一包和 7 颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是 17。大于 17 的任何数字都可以用 4 和 7 组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。
输入描述
输入两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于 1000 )。
输出描述
输出一个正整数，表示最大不能买到的糖数。
不需要考虑无解的情况
输入输出样例
示例
输入

4 7

输出

17

#include <iostream>
using namespace std;
int x, y;
int main()
{
    cin >> x >> y;
    cout << x * y - x - y << endl;
    return 0;
}

扩展欧几里得算法

理论

问题1：

求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组整数解

当 $b=0$ 时 $ax+by=a$ 故而 $x=1,y=0$
当 $b\ne 0$ 时
由欧几里得算法，$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
由裴蜀定理，
$gcd(a,b)=ax+by$
$gcd(b,a\%b)=b{x}_1+(a\%b)y_1$
$=b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y_1$
$=a{y}_1+b(x_1-\frac{a}{b}{y}_1)$

所以 $x=y_1$，$y=x_1-\frac{a}{b}{y}_1$
可以用递归算法，先求出下一层的 $x_1,y_1$，再回代到上一层，层层回代，可求特解$(x_0,y_0)$

构造通解
$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k\end{array}$ （考虑 $ax+by=0$ 构造）

例：$8x+6y=2$，解: $(1,-1),(4,-5),(7,-9)\cdots$

//欧几里得算法
int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) {
		return 0;
	}
	return gcd(b, a % b);
}

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
	if (b == 0) {
		int x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int x1, y1, d;
	d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
	x = y1, y = x1 - a / b * y1;
	return d;
}

问题2：

求不定方程 $ax+by=c$ 的一组整数解

1. 若 $gcd(a,b)\mid c$，则有整数解
   • 先用扩欧算法求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解
   • 再乘以 $c/gcd(a,b)$，即得原方程的特解$(x_0,y_0)$
   • 例：$8x+6y=6$，解得 $x=3,y=-3$

构造通解
$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k\end{array}$ （考虑 $ax+by=0$ 构造）

2. 若 $gcd(a,b)\nmid c$，则无整数解。
   • 例：$8x+6y=3$，$x=\frac{3-6y}{8}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int x1, y1, d;
	d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
	x = y1;
	y = x1 - a / b * y1;
	return d;
}
int main() {
	int a, b, c, x, y;
	cin >> a >> b >> c;
	int d = exgcd(a, b, x, y);
	if (c % d == 0) {
		printf("%d %d", c / d * x, c / d * y);
	}
	else {
		puts("none");
	}
	return 0;
}