蓝桥云客 最大和

问题描述

小蓝在玩一个寻宝游戏，游戏在一条笔直的道路上进行，道路被分成了 n 个方格，依次编号 1 至 n，每个方格上都有一个宝物，宝物的分值是一个整数（包括正数、负数和零），当进入一个方格时即获得了方格中宝物的分值。小蓝可以获得的总分值是他从方格中获得的分值之和。

小蓝开始时站在方格 1 上并获得了方格 1 上宝物的分值，他要经过若干步 到达方格 n。

当小蓝站在方格 p 上时，他可以选择跳到 p+1 到 p+D(n−p) 这些方格 中的一个，其中 D(1)=1，D(x)(x>1) 定义为 x 的最小质因数。

给定每个方格中宝物的分值，请问小蓝能获得的最大总分值是多少。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 n。

第二行包含 n 个整数，依次表示每个方格中宝物的分值。

输出格式

输出一行包含一个整数，表示答案。

样例输入

5
1 -2 3 -1 5

样例输出

8

思路：

代码：

记忆化搜索

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], mem[N], primes[N], min_primes[N], cnt, n;
bool st[N];
void get_primes(int n) 
{
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
	{
        if (!st[i]) 
		{
            primes[++cnt] = i;
            min_primes[i] = i; // 记录质数的最小质因数是其本身
        }
        for (int j = 1; primes[j] <= n / i; j++) 
		{
            st[primes[j] * i] = true;
            min_primes[primes[j] * i] = primes[j]; // 记录合数的最小质因数
            if (i % primes[j] == 0) 
			{
                break;
            }
        }
    }
}
// 计算 x 的最小质因数
int D(int x) 
{
    if (x == 1) return 1;
    if (min_primes[x])
        return min_primes[x];
    else 
	{
        cout << " 该数没有找到最小质因数 ：" << endl;
        return 1e9;
    }
}

// 深度优先搜索并记忆化
int dfs(int x) 
{
    if (mem[x] != -1)
        return mem[x];
    if (x == n)
        return a[x];
    int sum = -1e9;
    for (int i = x + 1; i <= x + D(n - x) && i <= n ; i++) 
	{
        sum = max(sum, dfs(i));
    }
    mem[x] = sum + a[x];
    return mem[x];
}

int main() 
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
	{
        cin >> a[i];
    }
    memset(mem, -1, sizeof(mem));
    cout << dfs(1);
    return 0;
}    

dp:
 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], dp[N], primes[N], cnt, n,min_primes[N];
bool st[N];
void get_primes(int n) 
{
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
	{
        if (!st[i]) 
		{
            primes[++cnt] = i;
            min_primes[i] = i; // 记录质数的最小质因数是其本身
        }
        for (int j = 1; primes[j] <= n / i; j++) 
		{
            st[primes[j] * i] = true;
            min_primes[primes[j] * i] = primes[j]; // 记录合数的最小质因数
            if (i % primes[j] == 0) 
			{
                break;
            }
        }
    }
}
// 计算 x 的最小质因数
int D(int x) 
{
    if (x == 1) return 1;
    if (min_primes[x])
        return min_primes[x];
    else 
	{
        cout << " 该数没有找到最小质因数 ：" << endl;
        return 1e9;
    }
}
int main(void)
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
	{
        cin >> a[i];
    }
    // 初始化 dp 数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
	{
        dp[i] = -1e9;
    }
    dp[1] = a[1];
    // 动态规划计算
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
	{
        for (int j = 1; j < i; j++) 
		{
            if (i <= j + D(n - j) && i <= n) 
			{
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[n];
    return 0;
}