leetcode 416. 分割等和子集 中等

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

分析：本题是经典的「NP 完全问题」，不存在多项式时间复杂度的解法，需要进行动态规划。这道题换一个问法，可以看做用集合里的数恰好填满一个背包，其中背包的容量大小为集合里所有数之和的一半。

存在几个不可能的情况：集合里只有一个数；集合里所有数的和为奇数；集合里存在一个数，这个数的值大于总和的一半。这三种情况可以提前判断为不可行。

动态规划：创建二维数组 dp，包含 n 行 target+1 列，其中 dp[i][j] 表示从数组的 [0,i] 下标范围内选取若干个正整数（可以是 0 个），是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于 j。初始时，dp 中的全部元素都是 false。

在不选取任何数时，被选取的正整数之和等于 0，即对于所有 0≤i<n，都有 dp[i][0]=true。当 i==0 时，只有一个正整数 nums[0] 可以被选取，因此 dp[0][nums[0]]=true。

对于 i>0 且 j>0 的情况，如何确定 dp[i][j] 的值？

如果 j≥nums[i]，即当前需要达到的选取数据之和 j 是大于等于当前要选择的数 nums[i] 时，可以选取也可以不选取，这两种情况只要有一个为 true，就说明在数组的 [0,i] 下标范围内，存在一个选取方案，使得选取的所有数之和达到 j，此时 dp[i][j]=true。对应的 dp 数组变化如下：

• 如果不选取 nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i−1][j]；
• 如果选取 nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i−1][j−nums[i]]。

如果 j<nums[i]，则在选取的数字的和等于 j 的情况下无法选取当前的数字 nums[i]，因此有 dp[i][j]=dp[i−1][j]。最终得到 dp[n−1][target] 即为答案。

bool canPartition(int* nums, int numsSize) {
    if(numsSize<2)return false;
    int max_num=0,sum=0;
    for(int i=0;i<numsSize;++i)
    {
        sum+=nums[i];
        max_num=fmax(nums[i],max_num);
    }
    if(sum&1||max_num*2>sum)return false;

    int target=sum/2,dp[numsSize+5][target+5];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][nums[0]]=1;
    for(int i=0;i<numsSize;++i)
        dp[i][0]=1;
    
    for(int i=1;i<numsSize;++i)
    {
        int temp=nums[i];
        for(int j=1;j<=target;++j)
        {
            if(j>=temp)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]|dp[i-1][j-temp];
            }
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    return dp[numsSize-1][target];
}

可以发现在计算 dp 的过程中，每一行的 dp 值都只与上一行的 dp 值有关，因此只需要一个一维数组即可。需要注意的是第二层的循环我们需要从大到小计算，因为如果我们从小到大更新 dp 值，那么在计算 dp[j] 值的时候，dp[j−nums[i]] 已经是被更新过的状态，不再是上一行的 dp 值。

bool canPartition(int* nums, int numsSize) {
    if(numsSize<2)return false;
    int max_num=0,sum=0;
    for(int i=0;i<numsSize;++i)
    {
        sum+=nums[i];
        max_num=fmax(nums[i],max_num);
    }
    if(sum&1||max_num*2>sum)return false;

    int target=sum/2,dp[target+5];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[nums[0]]=dp[0]=1;
    for(int i=1;i<numsSize;++i)
    {
        int temp=nums[i];
        for(int j=target;j>=temp;--j)
        {
            dp[j]=dp[j]|dp[j-temp];
        }
    }
    return dp[target];
}