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高数 | 用简单的话讲考研数学知识点（二重积分）

news 来源：原创 2025/5/28 2:53:17

目录

一、🌼前言

二、🤨二重积分

三、💦研究二重积分

1.🧑‍🤝‍🧑二重积分有两个式子

2.📊关于底面积对称

a.如果底面积D关于x轴对称

b.如果D都关于y轴对称

c.如果D关于原点对称

d.如果D关于x=y对称

e.如果D关于x=a对称

四、🧮二重积分的数学计算

1.🔁直角坐标换序

2.🔁极坐标换序

3.🔁直角坐标和极坐标互换

五、👼常见应用

1.面积

 2.体积（略）

 3.面总质量

 4.面的重心

5.转动惯量

一、🌼前言

本来这个系列我是打算自己做的，但是因为公式、图像等，工作量太大，所以我决定集大家之所成来讲解。

常用工具网站：

写公式可画图网站：GeoGebra - the world’s favorite, free math tools used by over 100 million students and teachers

二、🤨二重积分

二重积分是什么？

二重＝两层，

例：这个人有两重身份。所以这个积分有两重积分，意味着我们解决完一层要再解决一层。

第一重积分计算的是面积。（如果答案为负，说明面积位置在负半轴）

第二重积分计算的是体积。（如果答案为负，说明体积位置在负半轴）

参考讲解链接：如何理解二重积分的定义｜马同学图解微积分_哔哩哔哩_bilibili

三、💦研究二重积分

1.🧑‍🤝‍🧑二重积分有两个式子

分别为等号左边和右边：左边是正常的二重积分，右边是叫做和式

和式：用加法代表其他式子。例：3*5=5+5+5（右边就是和式）

2.📊关于底面积对称

标题二的视频里有讲，二重积分实际上就是体积，也就是底面积×高，底面积是计算的区域，高就是f(x,y)这个函数。

a.如果底面积D关于x轴对称

高计算出来，有两种特殊情况。

第一种：f(-x,y) = f(x,y)              关于x偶函数，那体积只需要算x其中一半，然后×2

第二种：f(-x,y) = -f(x,y)           关于x奇函数，那两边算出来刚好相反，所以体积=0

b.如果D都关于y轴对称

高计算出来，有两种特殊情况。

第一种：f(x,-y) = f(x,y)              关于y偶函数，那体积只需要算y其中一半，然后×2

第二种：f(x,-y) = -f(x,y)           关于y奇函数，那两边算出来刚好相反，所以体积=0

c.如果D关于原点对称

高计算出来，有两种特殊情况。

第一种：f(-x,-y) = f(x,y)              偶函数，那体积只需要算y其中一半，然后×2

第二种：f(-x,-y) = -f(x,y)           奇函数，那两边算出来刚好相反，所以体积=0

d.如果D关于x=y对称

高计算出来，有两种特殊情况。

第一种：f(y,x) = f(x,y)                      体积只需要算其中一半，然后×2

第二种：f(y,x) = -f(x,y)                   两边算出来刚好相反，所以体积=0

e.如果D关于x=a对称

高计算出来，有两种特殊情况。

第一种：f(x,2a-y) = f(x,y)              体积只需要算其中一半，然后×2

第二种：f(x,2a-y) = -f(x,y)           两边算出来刚好相反，所以体积=0

四、🧮二重积分的数学计算

1.🔁直角坐标换序

略，有空再补

2.🔁极坐标换序

略，有空再补

3.🔁直角坐标和极坐标互换

略，有空再补

五、👼常见应用

1.面积

如果f(x,y)=1 ，底面积×高，此时高=1，那面积和体积就在数值上相等了

 2.体积（略）

 3.面总质量

当f(x,y)代表的是密度时

 4.面的重心

当f(x,y)代表的是密度时

\bar{x} = \frac{\iint_{D}^{}xf(x,y)d\sigma}{\iint_{D}^{}f(x,y)d\sigma}

\bar{y} =\frac{\iint_{D}^{}yf(x,y)d\sigma}{\iint_{D}^{}f(x,y)d\sigma}

此时(\bar{x},\bar{y})是这个面的重心

5.转动惯量

转动惯量是什么？_哔哩哔哩_bilibili

当f(x,y)代表的是密度时

Ix =\iint_{D}^{}x^{2}f(x,y)d\sigma

Iy =\iint_{D}^{}y^{2}f(x,y)d\sigma

Io=Ix+Iy

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