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2024 天梯赛——工业园区建设题解

news 2025/7/17 7:10:00

思路

将点 $i$ 视为固定点，点 $j$ 视为灵活点，其中 $s_{i} = 1$ ， $s_{j} = 0$ 。维护四个队列，其中 $q_{0}$ 和 $q_{1}$ 分别维护还没有被选用的固定点和灵活点， $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 分别维护正在被使用的固定点和灵活点。此外，维护一个 rnum 表示当前位置右边（包含当前位置）正在被使用的固定点和灵活点的总数，维护 dis 表示当前的最优答案.

依次求解位置 i = 0, 1, …, n - 1 情况下的最优解，并动态更新队列和rnum，在此基础上探索四个队列的一些基本性质:
记 $x$ 属于 $q_{0} \cup q_{1}$ 的点和 $y$ 属于 $Q_{0} \cup Q_{1}$ 的点

$Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 的交集为空且并集为当前位置的最优解.
每次更新完队列后，对于任意的 $x$ ，均有 $x > i$ . 因为当我们扫描到位置 $i$ 时，点 $x = i$ 必定属于最优解，因此点 $i$ 必定已被加入 $Q_{0}$ 或者 $Q_{1}$ .
$min \{x\} > max \{y\}$ . 因为当存在 $x_{0} < y_{0}$ 时，那么 $i < x_{0} < y_{0}$ ，将 $x_{0}$ 替换 $y_{0}$ 会更优.

如何维护上述数据？

当扫描到 i 时，如果点 i - 1 属于上一个位置的最优解，那么 rnum -= 1 且 dis -= (2 * rnum - k).
选用 $q_{0}$ 和 $q_{1}$ 中的最左端的点 x_left，判断是否允许用来替换 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 中的最左端的点 y_left。显然，x_left >= i 且 x_left > y_left。当 x_left - i <= i - y_left时，将 x_left 替换 y_left 并更新 rnum 和 dis. 此外，当 x_left 来自 $q_{0}$ 时，它允许替换 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 中的点. 当 x_left 来自 $q_{1}$ 且 $Q_{1}$ 的大小 < m 时，它允许替换 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 中的点，否则只能替换 $Q_{1}$ 中的点. 循环执行上述步骤，直到条件不能满足.

显然，每一轮替换后，确保 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 更新为最优解. 此外，当 $y$ 在位置 i 被抛弃后，它不可能再成为位置 j (j > i)的最优解.

时间复杂度： $O (n)$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {

    int n, m, k;
    std::cin>>n>>m>>k;
    std::string s;
    std::cin>>s;

    std::vector<i64>ans(n);
    std::vector<int>vis(n);
    std::array<std::queue<int>, 2> q, Q;

    for(int i = 0;i < n;i++) {
        if(s[i] == '1') {
            q[0].push(i);
        } else {
            q[1].push(i);
        }
    }

    m = std::min(m, (int)q[1].size());
    i64 dis = 0, rnum = k;
    for(int i = 0;i < k;i++) {
        if(!q[0].empty() && (!q[1].empty() && Q[1].size() < m)) {
            if(q[0].front() < q[1].front()) {
                Q[0].push(q[0].front());
                dis += q[0].front();
                vis[q[0].front()] = 1;
                q[0].pop();
            } else {
                Q[1].push(q[1].front());
                dis += q[1].front();
                vis[q[1].front()] = 1;
                q[1].pop();
            }

        } else if(!q[0].empty()) {
            Q[0].push(q[0].front());
            dis += q[0].front();
            vis[q[0].front()] = 1;
            q[0].pop();
        } else {
            assert(Q[1].size() < k);
            Q[1].push(q[1].front());
            dis += q[1].front();
            vis[q[1].front()] = 1;
            q[1].pop();
        }
    }

    ans[0] = dis;
    auto Oper = [&] (int i, int j, int p)->bool {
        
        assert(!q[i].empty());
        assert(!Q[j].empty());
        assert(q[i].front() >= p);
        
        if(q[i].front() - p > p - Q[j].front()) {
            return false;
        }
        
        assert(Q[j].front() <= p);
        vis[Q[j].front()] = 0;
        dis -= (p - Q[j].front());
        Q[j].pop();

        dis += (q[i].front() - p);
        vis[q[i].front()] = 1;
        rnum += 1;
        Q[i].push(q[i].front());
        q[i].pop();
        
        return true;
    };

    auto calc = [&](int op, int i) ->bool{

        bool res = false;
        if(op == 0 || Q[1].size() < m) {
            if(!Q[0].empty() && (!Q[1].empty() && m)) {
                int cs = (Q[0].front() < Q[1].front()?0 : 1);
                res = Oper(op, cs, i);
            } else if(!Q[0].empty()) {
                res = Oper(op, 0, i);
            } else if(!Q[1].empty()){
                res = Oper(op, 1, i);
            }
        } else if(m > 0){
            res = Oper(1, 1, i);
        }

        return res;
    };

    for(int i = 1;i < n;i++) {
        
        if(vis[i - 1] == 1) {
            rnum -= 1;
        }

        //  在当前点集的作用下，dis 的更新方式如下：
        dis -= rnum;
        dis += (k - rnum);

        bool ok = true;
        while((!q[0].empty() || !q[1].empty()) && ok) {
            ok = false;
            int cs = -1;
            if(!q[0].empty() && (!q[1].empty() && m)) {
                cs = (q[0].front() < q[1].front()?0 : 1);
            } else if(!q[0].empty()) {
                cs = 0;
            } else if(!q[1].empty() && m){
                cs = 1;
            }
            if(cs != -1) {
                ok = calc(cs, i);
            }
        }
        
        ok = true;
        while(!q[0].empty() && ok) {
            ok = false;
            if(!Q[0].empty() && !Q[1].empty()) {
                int cs = (Q[0].front() < Q[1].front()?0 : 1);
                ok = Oper(0, cs, i);
            } else if(!Q[0].empty()) {
                ok = Oper(0, 0, i);
            } else if(!Q[1].empty()){
                ok = Oper(0, 1, i);
            }
        }

        ans[i] = dis;
    }

    for(int i = 0;i < n;i++) {
        std::cout<<ans[i];
        if(i + 1 < n) {
            std::cout<<" ";
        }
    }
} 
 
int main(){
    
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    int t = 1;
    std::cin>>t;
    
    while(t--) {
        solve();
        if(t) {
            std::cout<<"\n";
        }
    }
	return 0;
}