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【勒让德公式】欧拉筛-阶乘分解

news 来源：原创 2025/6/17 10:08:25

阶乘分解题解

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197. 阶乘分解

一、题目描述

给定整数N，将阶乘N!分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的质因数pᵢ和对应的指数cᵢ。

二、题目分析

需要将N!表示为质数的幂次乘积形式
关键在于高效计算每个质数在N!中的出现次数
需要先找出所有≤N的质数

三、解题思路

使用欧拉筛法预处理所有≤N的质数
对于每个质数p，计算在N!中的次数：
- 计算⌊N/p⌋ + ⌊N/p²⌋ + ⌊N/p³⌋ + … 直到pᵏ > N
输出所有质数及其对应的次数

四、算法讲解

欧拉筛法(线性筛)

原理：每个合数只被它的最小质因数筛掉
时间复杂度：O(n)
实现步骤：
1. 遍历2到N的每个数i
2. 如果i未被标记，则是质数，加入质数表
3. 用当前数i与已知质数相乘标记合数
4. 当i能被质数整除时停止标记

阶乘质因数分解

勒让德公式：计算质数p在N!中的次数为：
∑⌊N/pᵏ⌋ (k=1,2,…直到pᵏ>N)
例子：计算5!中2的指数
⌊5/2⌋=2, ⌊5/4⌋=1 → 2+1=3

五、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int prime[N], cnt;  // 质数表和计数器
int st[N];          // 标记是否为合数
int n;

// 欧拉筛法预处理质数
void init(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])  // i是质数
            prime[cnt ++] = i;  // 加入质数表
        // 用当前数和质数表中的数标记合数
        for (int j = 0; prime[j] * i <= n; j ++)
        {
            st[i * prime[j]] = 1;  // 标记合数
            if(i % prime[j] == 0) break;  // 保证每个合数只被最小质因数筛掉
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n;
    init(n);  // 预处理≤n的所有质数
    
    // 对每个质数计算在n!中的次数
    for (int i = 0; i < cnt; i ++)
    {
        int p = prime[i];  // 当前质数
        int s = 0;         // 计数器
        
        // 计算p在n!中的次数：n/p + n/p² + n/p³ + ...
        for (int j = n; j ; j /= p)
        {
            s += j / p;
        }
        cout << p << " " << s << "\n";  // 输出质数和次数
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}