[题解]2025HDU春季联合(五) - 小凯逛超市

• Souces：1001 - 小凯逛超市
• Abstract：有 $n$ 种物品和一个容积为 $m$ 的背包，每种物品有无限多个，对于第 $i$ 种物品，其价格为 $g_i$ ，体积 $v_i\equiv 1$。求在花费不超过 $V$ 的情况下，恰好填满背包的方案数。答案对 $10^9+7$ 取模。
• Limition：多测，$1\le T\le 5,1\le n,m,V,g_i\le 400$。
• Keyword：DP(签到题)
• Solution：完全背包求填满方案数板子题。下面以闫氏DP分析法对DP状态进行分析：
  • 状态表示：定义状态 $dp[i][j][k]$ ，用于表示考虑前 $i$ 个物品，背包容量恰好为 $j$ ，且花费恰好为 $k$ 的方案数，属性为“Sum”。由于空背包也算作一种方案，故 $dp[0][0][0]=1$。
  • 状态计算：对于$dp[i][j][k]$：
    • 不可选第 $i$ 种物品：若背包容积不够( $j\le 0$ )或物品价格大于当前花费( $g[i]>k$ )时，第 $i$ 种物品不可选，此时直接转移自第 $i-1$ 个物品的状态；
    • 可选第 $i$ 种物品：若 $j>0$ 且 $k\ge g_i$ ，则可选第 $i$ 种物品，此时又分 $2$ 种情形：
      • 选第 $i$ 种物品：花费 $1$ 个体积购买物品 $i$，由于为完全背包问题，同一物品可购买多次，状态转移自第 $i$ 种物品。
      • 不选第 $i$ 种物品：若已达到约束要求，则第 $i$ 种物品没必要选，则直接转移自第 $i-1$ 个物品的状态
  • 因此对于 $dp[i][j][k]$ ，其满足要求的状态有选 $i$ 和没必要选 $i$ 两种，累加这两种情况。最后遍历所有 $\le V$的情形累加即可。
• Equation：$$\begin{array}{c}dp[i][j][k]+=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j][k],& 不选i(包含不可选与不必要选)\\ dp[i][j-1][k-g[i]],& 选i\end{array}\end{array}$$
• Tip：本题内存限制262144 K，以三维数组刚好以261304 K极限通过。建议采用滚动数组方式压维。
• Code：

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int MOD = 1e9 + 7;
  
  void solve() {
      int n, m, V;
      cin >> n >> m >> V;
      vector<int> g(n+1);
      for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> g[i];
      vector<vector<vector<int>>> dp(n+1, vector<vector<int>>(m+1, vector<int>(V+1, 0)));
      dp[0][0][0] = 1;
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
          for (int j = 0; j <= m; j++) {
              for (int k = 0; k <= V; k++) {
                  dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i-1][j][k]) % MOD;//注意求方案数问题是累加
                  if (j > 0 && k >= g[i]) {
                      dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i][j-1][k-g[i]]) % MOD;
                  }
              }
          }
      }
      int ans = 0;
      for (int i = 0; i <= V; i++) {
          ans = (ans + dp[n][m][i]) % MOD;
      }
      cout << ans << endl;
  }
  
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(0);
      int t;
      cin >> t;
      while (t--) {
          solve();
      }
      return 0;
  }