中国剩余定理

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）详解：从原理到代码实现

在数论和计算机科学中，中国剩余定理（CRT）是一种处理多个模运算方程组的强大工具，它不仅用于解线性同余方程组，还广泛应用于密码学、RSA算法、信号处理等领域。本文将从原理讲起，结合例子逐步深入，并提供可运行的代码实现。

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一、什么是中国剩余定理？

中国剩余定理是关于整数同余方程组求解的一条基本定理，它的基本形式如下：

定理表述：

设有 $k$ 个整数模数 $m_1,m_2,\dots ,m_k$，它们两两互素，即 $\gcd (m_i,m_j)=1,\forall i\ne j$，给定如下方程组：

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{m}_k)\end{array}$

则该方程组有唯一解 $(\mathrm{mod}M)$，其中 $M=m_1\cdot m_2\cdots m_k$。

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二、逆元

对于整数 $a$ 和 $m$，如果存在一个整数 $x$，使得：

$a\cdot x\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

那么我们称 $x$ 是 $a$ 在模 $m$ 意义下的乘法逆元（modular inverse），记作：

$x=a^{-1}(\mathrm{mod}m)$

2.1 存在条件：

当且仅当 $\gcd (a,m)=1$，也就是 $a$ 与 $m$ 互素时，$a$ 才有模 $m$ 下的逆元。

2.2 逆元的计算：（扩展欧几里得）

欧几里得算法用于求最大公约数 $gcd(a,b)$，扩展版本则还能找到整数解 $(x,y)$，满足：

$ax+by=\gcd (a,b)$

当 $gcd(a,m)=1$ 时，我们可以得到一组 $x,y$ 使：

$ax+my=1\Rightarrow ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

所以 $x$ 就是 $a$ 的模 $m$ 逆元。

2.3 代码求解逆元的实现（python为例）

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
    x, y = y1, x1 - (a // b) * y1
    return d, x, y

# 逆元求解
def mod_inverse(a, m):
    d, x, _ = extended_gcd(a, m)
    if d != 1:
        raise Exception("逆元不存在")
    return x % m

三、基本思想

设 $M=m_1{m}_2\cdots m_k$，令 $M_i=\frac{M}{m_i}$，然后我们找到 $y_i$，使得：

$M_i\cdot y_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$

即 $y_i$ 是 $M_i$ 模 $m_i$ 的乘法逆元。

最终解为：

$x\equiv {\sum }_{i=1}^k{a}_i\cdot M_i\cdot y_i(\mathrm{mod}M)$

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三、通俗例子

🌰 例子 1：

解如下方程组：

$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(\mathrm{mod}3)\\ x\equiv 3(\mathrm{mod}5)\\ x\equiv 2(\mathrm{mod}7)\end{array}$

• $M=3\cdot 5\cdot 7=105$
• $M_1=105/3=35$，求 $y_1$ 使 $35y_1\equiv 1(\mathrm{mod}3)\Rightarrow y_1=2$
• $M_2=105/5=21$，$21y_2\equiv 1(\mathrm{mod}5)\Rightarrow y_2=1$
• $M_3=105/7=15$，$15y_3\equiv 1(\mathrm{mod}7)\Rightarrow y_3=1$

带入公式：
$x=2\cdot 35\cdot 2+3\cdot 21\cdot 1+2\cdot 15\cdot 1=140+63+30=233\Rightarrow x\equiv 233(\mathrm{mod}105)\Rightarrow \boxed{x=233\mathrm{mod}105=23}$

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四、Python代码实现

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = extended_gcd(b, a % b)
    return d, y, x - (a // b) * y

def mod_inverse(a, m):
    d, x, _ = extended_gcd(a, m)
    if d != 1:
        raise Exception("逆元不存在")
    return x % m

def chinese_remainder(a_list, m_list):
    assert len(a_list) == len(m_list)
    M = 1
    for m in m_list:
        M *= m
    result = 0
    for ai, mi in zip(a_list, m_list):
        Mi = M // mi
        yi = mod_inverse(Mi, mi)
        result += ai * Mi * yi
    return result % M

✅ 使用示例：

a = [2, 3, 2]
m = [3, 5, 7]
x = chinese_remainder(a, m)
print(f"x = {x}")  # 输出 x = 23

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五、应用场景

• 密码学：RSA解密加速
• 并行计算：多个核分别处理模运算再合并
• 编码理论：错误检测与纠正
• 图灵奖得主姚期智的多方安全计算中也广泛用到CRT

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六、常见注意点

1. 所有模数必须两两互素；
2. 若不互素也可以用扩展版本的中国剩余定理，但解不唯一；
3. 逆元必须存在，即 $\gcd (M_i,m_i)=1$；
4. 计算量大时注意整数溢出，可以用 Python 的大整数或语言自带库。

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七、练习题推荐

练手编程题：洛谷P1495 中国剩余定理

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