贪心算法之任务选择问题
一、理论推导思路
问题描述：给定n个活动的集合S = {a₁, a₂, ..., aₙ}，每个活动有开始时间
start[i]和结束时间end[i]。要求选择最多的互不重叠的活动。
贪心策略：
每次选择结束时间最早的活动，这样可以为后续活动留下更多时间。具体步骤如下：
- 将所有活动按结束时间升序排序。
- 初始化一个空集合
selected，并选择第一个活动（结束时间最早）。 - 遍历后续活动，若当前活动的开始时间不早于最后一个选中活动的结束时间，则选中该活动。
二、算法正确性证明
证明方法：交换论证（Exchange Argument）。
假设：存在一个最优解A，其第一个活动的结束时间晚于贪心解的第一个活动的结束时间
步骤：
- 设
A的第一个活动为，其结束时间
end[k] ≥ end[1]。 - 若将
，则新的解
A'的活动数量至少与A相同（因为 - 因此，贪心解
- 递归地，剩下的子问题同样满足贪心选择性质，最终得到全局最优解。
三、算法步骤
- 输入处理：将活动存储为列表
(start, end)。 - 排序：按活动的
end升序排序。 - 初始化：选择第一个活动（
end最小），记录其结束时间last_end。 - 遍历选择：从第二个活动开始，若当前活动的
start≥last_end，则选中该活动，并更新last_end。 - 输出结果：选中的活动集合。
四、时间复杂度计算
- 排序：
O(n log n)（基于比较的排序）。 - 遍历选择：
O(n)（线性扫描）。 - 总时间复杂度：
O(n log n)。
五、实例分析
示例输入：
活动列表如下（按原顺序）：
活动1: start=1, end=3
活动2: start=2, end=5
活动3: start=4, end=7
活动4: start=6, end=8
活动5: start=5, end=9
活动6: start=8, end=10
步骤解析：
- 排序后：按
end升序排列为活动 1、活动 2、活动 3、活动 4、活动 5、活动 6。 - 选择过程：
- 选活动 1（end=3）。
- 活动 2 的 start=2 < 3 → 跳过。
- 活动 3 的 start=4 ≥ 3 → 选活动 3（end=7）。
- 活动 4 的 start=6 < 7 → 跳过。
- 活动 5 的 start=5 < 7 → 跳过。
- 活动 6 的 start=8 ≥ 7 → 选活动 6（end=10）。
- 结果：选中活动 1、3、6，共 3 个活动。
六、代码示例（Python）
def activity_selection(activities):
# 按结束时间升序排序
sorted_activities = sorted(activities, key=lambda x: x[1])
selected = []
last_end = -1
for start, end in sorted_activities:
if start >= last_end:
selected.append((start, end))
last_end = end
return selected
# 示例输入
activities = [
(1, 3), (2, 5), (4, 7), (6, 8), (5, 9), (8, 10)
]
selected = activity_selection(activities)
print("选中的活动：", selected)
输出：
选中的活动： [(1, 3), (4, 7), (8, 10)]
七、算法总结
- 贪心策略的有效性：活动选择问题满足贪心选择性质和最优子结构，因此贪心算法能得到全局最优解。
- 关键步骤：排序和线性扫描，时间复杂度为
O(n log n)。 - 应用场景：类似的调度问题（如任务调度、资源分配）可尝试贪心策略，但需验证贪心选择性质。