2.2 路径问题专题：LeetCode 63. 不同路径 II

动态规划解决LeetCode 63题：不同路径 II（含障碍物）

1. 题目链接

LeetCode 63. 不同路径 II

2. 题目描述

一个机器人位于 m x n 网格的左上角，每次只能向右或向下移动一步。网格中可能存在障碍物（标记为 1），机器人不能经过障碍物。求从左上角到右下角的不同路径总数。

示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：存在障碍物在中心位置，两条路径为：

1. 右 -> 右 -> 下 -> 下
2. 下 -> 下 -> 右 -> 右

示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

3. 示例分析

以 示例 1 的输入为例：

• 机器人需要绕过中心的障碍物。
• 动态规划表 dp 在计算时会跳过障碍物位置，最终右下角的值为 2。

4. 算法思路

动态规划状态定义

• dp[i][j] 表示到达网格 (i-1, j-1) 位置的有效路径数（i 和 j 从 1 开始，避免越界）。

状态转移方程

• 若 (i-1, j-1) 是障碍物，dp[i][j] = 0（无法到达）。
• 否则，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

初始化技巧

• 初始化 dp[0][1] = 1，使得 dp[1][1] 可以正确推导初始值，无需单独处理第一行和第一列。

5. 边界条件与注意事项

1. 起点或终点为障碍物：直接返回 0。
2. 单行或单列网格：若路径中存在障碍物，路径数为 0。
3. 障碍物处理：遍历时需跳过障碍物位置，保持 dp[i][j] = 0。

6. 代码实现（修正版）

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();
        // 起点或终点是障碍物，直接返回0
        if (obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m-1][n-1] == 1) return 0;
        
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        dp[0][1] = 1; // 初始化虚拟起点
        
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                // 跳过障碍物位置
                if (obstacleGrid[i-1][j-1] == 0) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

代码解析

1. 提前检查障碍物：若起点或终点是障碍物，直接返回 0，避免无效计算。
2. 动态规划表填充：遍历时跳过障碍物位置，保证路径数不会累加无效值。
3. 返回值：dp[m][n] 表示到达右下角的有效路径总数。

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时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(mn)。通过动态规划表逐格计算，高效处理含障碍物的路径问题。