leetcode 62. Unique Paths

这道题用动态规划解答。

按照代码随想录介绍的动态规划五部曲来分析。

第一步，明确dp数组的含义，包括数组下标的含义和数组取值的含义。

定义一个m*n的二维数组path。path[i][j]表示从原点(0,0)到(i,j)的不同路径的数目。题目给出m*n的网格，要求到达右下角(m-1,n-1)的不同路径数目，就等价于求path[m-1][n-1]。

 

第二步，明确递推公式

分析前先约定，行号和列号都是从0开始起算的。分析发现，当row>=1并且column>=1时，要到达(row,column)，有两种可能，要么是从它正上面的相邻位置(row-1,column)向下走一步到达的，要么是从它的正左边的相邻位置(row,column-1)向右走一步到达的。因此得到如下递推公式：

path[row][column] = path[row-1][column] + path[row][column]，其中row>=1,column>=1.

第三步，明确怎么初始化dp数组

显然，path[0][0]应该等于1，含义是从原点到达原点，只有一条路径，那就是一步也不走。

从第二步的分析就可以发现，所有第0行的位置都没有上一行位置，所有第0列的位置都没有左边一列的位置。也就是说，除了原点，要到达所有第0行的位置，只有一种路径，那就是从它的左边一路往右走。除了原点，要达到所有第0列的位置，只有一种路径，那就是从它的上面一路往下走。

因此，除了要把path[0][0]初始化为1之外，还需要把path[0][column](0<column<=n-1)，以及path[row][0](0<row<=m-1)初始化为1。

第四步，明确遍历顺序

本题显然应该将行号和列号都从小到大遍历，含义是从原点出发一步步到达目的地。遍历的时候行号从1到m-1，列号从1到n-1。

第五步，打印dp数组的值

可以用题目给的例子，模拟一下，验证前面的分析是否有误。

代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> path;
        path.resize(m);
        for(int i = 0;i < m;i++) path[i].resize(n);
        //path[i][j]表示从原点(0,0)到(i,j)的不同路径数目
        for(int i = 0;i < m;i++) path[i][0] = 1;
        for(int i = 0;i < n;i++) path[0][i] = 1;
        for(int row = 1;row < m;row++){
            for(int column = 1;column < n;column++){
                path[row][column] = path[row-1][column]+path[row][column-1];
            }
        }
        return path[m-1][n-1];
    }
};